导数、微分、积分的几何理解

一、导数

1. 导数的定义
   设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(1)$$ 存在，则称函数$f$在点$x_0$处可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数，记做$f^{\prime }(x_0)$。
   令$x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,则$(1)$式可改写为$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)(2)$$所以，导数式函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称商差），而导数$f^{\prime }(x_0)$则为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率。

2. 导数的几何意义
   在导数的定义中已经说过,导数$f^{\prime }(x_0)$为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率；所以导数的几何意义就是切线(斜率)。
   对应下图，直线$P{Q}^{\prime }$就是函数$f$在$x_0$处的导数(切线)，即$f^{\prime }(x_0)=P{Q}^{\prime }$
   

二、微分

1. 微分的定义
   设函数$y=f(x)$定义在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内。当给$x_0$一个增量$\Delta x,x_0+\Delta x\in U(x_0)$时,相应的得到函数的增量为$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$如果存在常数$A$,使得$\Delta y$能表示成$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(3)$$则称函数$f$在点$x_0$可微，并称（3）式中的第一项$A\Delta x$为$f$在点$x_0$处的微分，记做$${dy|}_{x=x_0}=A\Delta x或{df(x)|}_{x=x_0}=A\Delta x$$由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于$\Delta x$的高阶无穷小量，由于$dy$是$\Delta x$的线性函数，所以当$A̸=0$时，也说微分$dy$是增量$\Delta y$的线性主部。

2. 微分的几何意义
   微分的几何意义如下图所示，当自变量由$x_0$增加到$x_0+\Delta x$时，函数增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQ$；
   而微分则是在点$P$处的切线上与$\Delta x$所对应的增量$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=R{Q}^{\prime }$$
   其中，$Q{Q}^{\prime }$对应的是$o(\Delta x)$（高阶无穷小量），即${\lim }_{x\to x_0}\frac{Q^{\prime }Q}{R{Q}^{\prime }}=0$
   

三、积分

1. 积分的定义
   设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数，对于$[a,b]$的一个分割 T = { Δ 1 , Δ 2 , … , Δ n } T={Delta {_1},Delta {_2},dots,Delta {_n}} T={Δ1​,Δ2​,…,Δn​}，任取点${\xi }_i\in \Delta {}_i,i=1,2,\dots ,n$,并做和式$$J=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
   称此和式为函数$f$在$[a,b]$上的一个积分和，也称黎曼和。
   定积分：
   $J={\sum }_{i=a}^{b}f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$
   其中，$f$称为被积函数，$x$称为积分变量，$[a,b]$称为积分区间。

2. 积分的几何意义
   由上文积分的定义可知，积分的几何意义就是求面积。
   对应下图，$J={\int }_{x_0+\Delta x}^{x_0}f(x)\mathrm{d}x$的几何意义就是曲线$PQ$和$x$轴围成的面积。
   

最后

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