三角网格表面高斯曲率的计算与可视化

好久没有写代码了，最近拿计算三角网格表面的高斯曲率练了练手，并实现了高斯曲率的可视化，复习了一点微分几何的知识。感觉有时候还是要自己把代码写出来，调试运行，结合试验结果，才能对相应的知识有更深的了解。

所谓曲面上某点的高斯曲率，即该点两个主曲率的乘积。把曲面上的顶点映射到单位球的球心,把法线的端点映射到球面上，即将曲面上的点与球面上的点建立了一种对应，叫做曲面的球面表示，也叫高斯映射。高斯曲率的几何意义，即球面上的面积/曲面局部面积的极限，可以看出，高斯曲率确实反映了曲面局部的弯曲程度。

利用高斯曲率的正负性，可以很方便地研究曲面在一点邻近的结构，高斯曲率K>0为椭圆点，K<0为双曲点，K=0为平面或抛物点。并且高斯曲率是曲面的内蕴量，只与曲面的第一基本型相关，与坐标轴的选取和参数化表示无关。

言归正传，求解三角网格表面的高斯曲率，就需要利用离散微分几何，我采用的公式为：

这个公式的几何意义是比较直观的，2*Pi-该点邻域三角形对应的角度和，再除以相应区域的面积，就刻划了该点曲面的弯曲程度。

 

 

A(v)的面积视三角形顶角的大小而定，锐角和钝角的定义不一样的。

 

其实推导出上述公式的方法是非常巧妙的,仔细研究一下,它利用了在高斯映射的几何意义下,离散高斯曲率对局部曲面的积分
考虑p点邻域法线映射到单位球上的面积,即近似为 2*Pi-该点邻域三角形对应的角度和
不仔细写了,大家看看下面这张图,感受一下这个公式的美妙:

具体的编码比较简单，求出GaussCurvature数组后，归一化到[0,1]，设定三种颜色c1灰黄，c2绿，c3红，线性加权伪彩显示。K>0显示为绿色，K<0显示为红色，K=0显示为灰黄色，颜色越鲜艳，高斯曲率的绝对值越大。实现效果如下图

显示效果不好，搞过图像处理的人就知道了，需要做一个直方图均衡

直方图均衡后的显示效果为：

这样的效果就好多了，鼻梁处红色的为典型的双曲点（两个主曲率异号,主方向的两条法截线,一条向法线的正向弯曲,一条向法线的反向弯曲,形成马鞍面），鼻尖处绿色的为典型的抛物点（两个主曲率同号,曲面沿所有方向都朝向同一侧弯曲），脑门处较平坦的区域（有一个主曲率接近0）高斯曲率的绝对值较小，颜色也比较淡。

贴出更多的试验图片，计算高斯曲率并伪彩显示，确实可以直观地看出曲面的一些属性，应该可以指导网格去噪、平滑、简化、分割等后继的研究

三角网格上离散高斯曲率的计算公式比较简单，做了这个简单的练习，把网格表面顶点属性可视化的程序框架搭建好了。以后有机会也可以实现一下平均曲率，主曲率，主方向的计算。