代数系统

一、运算及其性质

1、代数运算性质

(1)

代数运算定义:

设有非空集合????,

????是正整数,

从 f^n = ???? × ???? × ⋯ × ???? 到????的一个映射: ????: f^n → ???? 称为集合????上一个????元代数运算,

简称为n 元运算, ????称为运算的阶.

例子：

二元运算????: R^2 → ????,对任意的????1, ????2 ∈ ????, ????(????1, ????2) = ????1 + ????2

这是通常的加法运算.

(2)

对于代数运算????: A^n→ ????

定义域???????????? ???? = A^n , 称为代数运算的全域性.

值域???????????? ???? ⊆ ????, 称为代数运算的封闭性.

(3)

通常用∼或¬来表示一元运算符

而用∗,∘,•,⊕,⊗等符号表示二元运算符.

(4)

由于代数系统中定义的运算可以扩展至数域以外,

所以运算规则本身不一定能用一个解析表达式表示,

而通常用运算表来定义.

对于有穷集合????上的一元和二元运算, 常用运算表来表示.

一元：2*n

二元：(n+1)*(n+1)

(5)

定义:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

若对于任意的????, ???? ∈ ????, 都有: ???? ∗ ???? = ???? ∗ ????

则称∗运算在集合????上是可交换的 (Commutative). (∗运算满足交换律)

(6)

定义:

若对于任意的????, ????, ???? ∈ ????,都有 (???? ∗ ????) ∗ ???? = ???? ∗ (???? ∗ ????)

则称∗运算在集合????上是可结合的 (Associative). (∗运算满足结合律)

(7)

定义:

设∗是集合????上的二元运算, 且是可结合的,

则对任意的???? ∈ ????,

定义: x^n = ???? ∗ ???? ∗ ⋯ ∗ ???? (????个????做 ∗ 运算) 并称为????的????次幂(Power), ????称为????的指数 (Exponent).

定理:

对于任意的正整数????和????, 有

x^m*x^n = x^(m+n)

(x^m)^n = x^(m*n)

(8)

定义:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

若存在???? ∈ ????,使得???? ∗ ???? = ????,

则称????为∗ 运算的幂等元.

若????中每个元素都是∗运算的幂等元, 则称 ∗运算满足幂等律.

(9)

定义:

设∗,????是定义在集合????上的两个二元运算,

对于任意的????, ????, ???? ∈ ????,若有:

(1)???? ∗ (????????????) = (???? ∗ ????)????(???? ∗ ????)

(2)(????????????) ∗ ???? = (???? ∗ ????)????(???? ∗ ????)

则称∗运算对于????运算是可分配的 (Distributive), 或称∗对????满足分配律.

如果只有(1)式成立, 那么称∗对????满足左分 配律.

如果只有(2)式成立, 那么称∗对????满足右分配律.

(10)

定义:

设∗,????是定义在集合????上的两个二元运算,

对于任意的????, ???? ∈ ????,若有:

(1)???? ∗ (????????????) = ????

(2)(????????????) ∗ ???? = ????

则称∗运算对于????运算是可吸收的 (Absorptive),或称∗对????满足吸收律.

若只有(1)式成立, 则称∗对????是左吸收的.

若只有(2)式成立, 则称∗对????是右吸收的

2、特殊元

(11)

定义:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算:

(1)若存在一个元素el ∈ ????,使得对于任意的???? ∈ ????, 都有el ∗ ???? = ????,则称el 是集合????上关于∗运算的一个左单位元(左幺元).

(2)若存在一个元素er ∈ ????,使得对于任意的 ???? ∈ ????, 都有???? ∗ er = ????,则称er 是集合????上关 于∗运算的一个右单位元(右幺元).

(3)若存在一个元素???? ∈ ????,并且????既是左单位元 又是右单位元,则称????是集合????上关于∗运算的一个单位元(幺元).

(12)

定理:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

若∗运算同时存在一个左单位元el 和一 个右单位元er ,

则有 el = er = ????, 且????是集合????中关于∗运算的唯一的一个幺元

(13)

定义:

设*是定义在集合????上的一个二元运算.

(1)若存在一个元素????l ∈ ????,使得对于任意的 ???? ∈ ????,都有????l ∗ ???? = ????l ,则称????l 是集合????上关 于∗运算的一个左零元.

(2)若存在一个元素????r ∈ ????,使得对于任意的 ???? ∈ ????,都有???? ∗ ????r = ????r ,则称????r 是集合????上关 于∗运算的一个右零元.

(3)若存在一个元素???? ∈ ????,并且????既是左零元又 是右零元,则称????是集合????上关于∗运算的一 个零元

(14)

定理:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

若∗运算同时存在一个左零元????l 和一个 右零元????r ,

则有: ????l = ????r = ???? 并且????是集合????中关于∗运算的唯一的一个零元

(15)

定义:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

????是集合????上关于∗运算的单位元, 对于 ???? ∈ ????:

(1)若存在一个元素????l ∈ ????,使得????l ∗ ???? = ????,则称 ????是左可逆的, 并称????l 是????的一个左逆元.

(2)若存在一个元素????r ∈ ????,使得???? ∗ ????r = ????,则 称????是右可逆的, 并称????r 是????的一个右逆元.

(3)若存在一个元素???? ∈ ????,使得???? ∗ ???? = ???? ∗ ???? = ????,则称????是可逆的, 并称????是????的一个逆元.

(16)

定理:

设∗是定义在集合????上的一个二元运 算,

????是集合????上关于∗运算的单位元,

若元 素???? ∈ ????同时存在左逆元????l^-1和右逆元????r^-1 ,

则有???? l ^-1= ????r^-1 = ????^-1 ,并且????^-1是????的唯一的一个逆元.

(17)

定义：

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,

对于任意的????, ????, ???? ∈ ????:

(1)若???? ∗ ???? = ???? ∗ ????,且???? ≠ 0,必有???? = ????

(2)若???? ∗ ???? = ???? ∗ ????,且???? ≠ 0,必有???? = ????

则称∗运算是可消去的, 或称∗满足消去律.

若只有(1)式成立,则称∗是左可消去的.

若只有(2)式成立,则称∗是右可消去的

(18)

定理:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算且|????| > 1,

若∗运算同时存在幺元????和零元0,则必有???? ≠ 0.

(19)

定理:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算,????是????上关于∗运算的幺元,

若元素???? ∈ ???? 存在逆元????^-1,则????^-1也是可逆的, 且 (????^-1)^-1 = ????.

(20)

定理: 零元不存在逆元.

二、代数系统

(1)

定义:

设????是一个非空集合, ∗1,∗2, ⋯ ,∗r 是代数运算.

称集合????和代数运算∗1,∗2, ⋯ ,∗r 所组成的结构为代数系统,

记作 ???? = 〈????,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉,

集合????称为代数系统的定义域(Domain).

当????为有限集时, 称????为有限代数系统.

(2)

在任意集合????的幂集????(????)中,

考虑集合的补“∼”,并“∪”和交“∩”运算,

则〈????(????), ∼,∪ ,∩〉构成一个代数系统.

这个系统称为集合代数.

(3)

定义:

设有代数系统???? = 〈????,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉,

???? 是????的非空子集,

若运算∗1,∗2, ⋯ ,∗r 在????上是封闭的,

则称代数系统 ???? = 〈????,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉 是????的子代数,

同时称????是????的扩大.

若????是 ????的真子集, 则????为????的真子代数.

三、代数系统的同态与同构

(1)

定义: 设???? = 〈????,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉, ???? = 〈????, +1, +2, ⋯ , +r 〉是两个代数系 统, 若∗i 和+i 都是????i 元运算, ???? = 1,2, ⋯ , ????, 则说这两个代数系统 是同一类型的.

(2)

定义:

设???? = 〈????,∗〉,???? = 〈????, +〉是两个同一类型的代数系统,

∗和+都是二元运算, ????是 从????到????的一个函数映射,

若对于任意的 ????1, ????2 ∈ ????,都有 ????(????1 ∗ ????2) = ????(????1) + ????(????2)

则称????是从代数系统????到代数系统????的一 个同态映射,

或称代数系统????和代数系统???? 同态.

当????分别是单射, 满射和双射时, 称????为单同态映射, 满同态映射和同构映射.

(3)

定义：

如果代数系统????和代数系统????之间存在同构映射????,

那么称代数系统????和代数系统???? 同构.

通常记作???? ≅ ????.

如果????是从代数系统???? = 〈????,∗〉到???? = 〈????,∗〉 的同态映射, 则称????是自同态映射.

如果????是从代数系统???? = 〈????,∗〉到???? = 〈????,∗〉 的同构映射, 则称????是自同构映射.

(4)

定义:

设???? = 〈????,∘,▵〉和代数系统???? = 〈????,•,▴〉是两个同一类型的代数系统,

∘,▵,•,▴ 都是二元运算,

映射 ????: ???? → ????,若对 ∀????1, ????2 ∈ ????,都有:

????(????1 ∘ ????2) = ????(????1) • ????(????2)

????(????1 ▵ ????2) = ????(????1) ▴ ????(????2)

则称????是从代数系统????到代数系统????的一 个同态映射.

或称代数系统????和代数系统???? 同态.

若????分别是单射, 满射和双射, 分别称????为 单同态映射, 满同态映射和同构映射.

(5)

定理:

若????是从〈????,∗〉到〈????,∘〉的同态映射, ???? 是从〈????,∘〉到〈????,⊙〉的同态映射.

则复合函 数???? ⋅ ????是从〈????,∗〉到〈????,⊙〉的同态映射. 其 中∗,∘,⊙为二元运算.

(6)

定理:

给定代数系统???? = 〈????,∗〉和???? = 〈????,∘〉, 函数????: ???? → ????是从????到????的同态映射, 则代数系统???? ' = 〈????(????),∘〉是????的子代数, 并称???? ' 是在????作用下????的同态像

四、同余关系与商代数系统

1、同余关系

(1)

定义:

设∗是定义在集合????上的一个二元运算, ????是????上的一个等价关系.

如果对于任 意的????1, ????2 ∈ ????,????1, ????2 ∈ ????,都有:

〈????1, ????1〉 ∈ ????  ∧ 〈????2, ????2〉 ∈ ????  ⇒   〈????1 ∗ ????2, ????1 ∗ ????2〉 ∈ ????

那么称关系????对于二元运算∗满足代换性质

(2)

定义:

设有代数系统???? = 〈????,∗〉,其中, ∗是定义在集合????上的二元运算,

????是????上的一个等价关系.

若????对于????上的∗运算满足代换性质, 则称????为集合????上关于∗运算的同余关系(Congruence relation).

此时, ????的等价类为同余类(Congruence classes).

注: 也即具有代换性质的等价关系称为同余关系

(3)

定理:

设????是代数系统???? = 〈????,∗〉到代数系 统???? = 〈????, #〉的同态映射,

∗和#是????和????上 的二元运算,

????是????上的二元关系: 〈????, ????〉 ∈ ????当且仅当????(????) = ????(????).

则????是????上的一个同余关系. 称????为由同态映射????诱导的同余关系.

2、商代数

(4)

定义:

设????是代数系统???? = 〈????,∗〉上的一个 同余关系,

∗是定义再集合????上的二元运算.

构成一个代数系统???? = 〈????/????,⊙〉,其中

(1)????/???? = {[????]R|???? ∈ ????}

(2)对于任意的[????]R, [????]R∈ ????/????

[????]R⊙ [????]R = [???? ∗ ????]R 称代数系统????到????关于????的商代数系统,

简称商代数, 记作????/????.

(5)

定义:

设????是集合????上的一个等价关系,

若有函数????: ???? → ????/????: ∀???? ∈ ????,    ????(????) = [????]R

则称????是从集合????到商集????/????的正则映射或规范映射.

(6)

定理:

若????是代数系统???? = 〈????,∗〉上的同余关系,

其中∗是二元运算,

????对????的商代数 ????/???? = 〈????/????,⊙〉,

则正则映射 ????: ???? → ????/???? 是从????到????的同态映射.

此时称????为由同余关系????诱导出的同态映射.

(7)

定理:

若????是从代数系统???? = 〈????,∗〉到???? = 〈????,∘〉的同态映射,

????是????诱导的????上的同余关系.

其中, ∗和∘是二元运算.

则在商代数????/???? = 〈????/????,⊙〉与同态像???? ' = 〈????(????),∘〉之间存在同构映射 ????: ????/???? → ????(????),

即代数系统〈????/????,⊙〉与代数系统???? ' = 〈????(????),∘〉同构

最后

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