离散数学之代数系统

基本概念

设非空集合A,B,C.

1. 二元运算
   f:A×B->C为二元运算（×为笛卡尔积）
2. 算符
   用算符来表示运算f，如“*”，“+”，“◦”
3. n元运算
4. 封闭性
   A×A->A，即A中两个元素运算后的结果仍是A的元素
5. 代数系统（代数）
   集合A及其封闭运算组成代数系统，用<A，*，◦>表示
6. 子代数（子代数系统）
   B是A的子集，且A的封闭运算在B中仍封闭，则<B，*，◦>是<A，*，◦>的子代数

基本运算和性质

所有运算和性质都在代数系统中成立，即运算必须是封闭的

运算律

1. 结合律
   (ab)*c = a*(bc)
2. 交换律
   a*b = b*a
3. 消去律
   如果a*x = a*y，那么x = y
   则a在A中关于“*”是左可消去元
   右可消去元同理
4. 幂等律
   a*a = a² = a，则a为幂等元
5. 分配律
   a*(b ◦ c) = (a*b) ◦ (a*c)
   则称“ * ”对“ ◦ ”左可分配
   (b ◦ c)*a = (b*a) ◦ (c*a)
   则称“ * ”对“ ◦ ”右可分配
6. 吸收律
   x ◦ (x * y) = x, 且x ◦ (x * y) = x
   则称“ * ”和“ ◦ ”满足吸收律

性质

1. 幺元（单位元）
   ∃e∈A，对∀a∈A，有 a * e = e * a = a
   则e是A中关于运算“ * ” 的幺元
2. 零元
   ∃θ∈A，对∀a∈A，有 a * θ = θ * a = θ
   则e是A中关于运算“ * ” 的零元
3. 逆元
   有 a * b = b * a = e
   则a是b的逆元，b是a的逆元
4. 若A上的“ * ”满足结合律，且a，b∈A有逆元a¯¹，b¯¹，=>则
   （1）a，b是可消去元
   （2）(a * b)¯¹ = a¯¹ * b¯¹
5. 幺元唯一
6. 零元唯一
7. 一个元素最多有一个逆元

同态和同构

1. 同态映射
   设<A, * >和<B, ◦ >代数系统，f是从A到B的映射，对∀x，y∈A，有f(x*y) = f(x) ◦ f(y)
   则 f 是从<A, * >到<B, ◦ >的同态映射，<A, * >和<B, ◦ >同态
   即在A集合中运算后映射到B集合，和映射到B集合再进行运算的结果一致
   f是单射=>单一同态映射
   f是满射=>满同态映射
   f是双射=>同构映射
2. 若满同态，则两者具有相同的性质

最后

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