代数系统

1 二元运算及其性质

1.1 二元运算与一元运算的定义

概念：
定义：设$S$为集合，函数$f:S\times S\to S$称为$S$上的二元运算，简称为二元运算。这时也称$S$对$f$封闭。


定义：设$S$为集合，函数$f:S\to S$称为$S$上的一元运算，简称为一元运算。


使用算符可以更方便的定义运算，定义的方法是给出运算的表达式或运算表。表达式适合于表示具有共同规则的运算，而运算表不要求运算具有共同规则，但是运算必须定义在有穷集上。下表给出了二元运算与一元运算的运算表的一般形式，这些运算都定义在集合$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$上。

示例：
例1：
（1）设$R$为实数集合，如下定义$R$上的二元运算$\ast$ $$\forall x,y\in R,x\ast y=x$$ 这里的$\ast$运算是使用表达式定义的。
（2）令$A=P(a,b)$，$\oplus$和$\sim$分别为对称差和绝对补运算（$a,b$为全集），下表表示这两个运算的运算表。



例2：
设 Z n = { 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n − 1 } Z_n={0,1,cdot cdot cdot,n-1} Zn​={0,1,⋅⋅⋅,n−1}，$\oplus$和$\otimes$分别表示模$n$加法和模$n$乘法。即$x\oplus y=(x+y)modn$，$x\otimes y=(xy)modn$。那么当$n=5$时，这两个运算的运算表如下所示。

1.2 二元运算的性质

概念：
定义：设$\circ$为$S$上的二元运算，
（1）如果对于任意的$x,y\in S$有$$x\circ y=y\circ x$$则称$\circ$运算在$S$上满足交换律。
（2）如果对于任意的$x,y,z\in S$有$$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$$则称$\circ$运算在$S$上满足结合律。
（3）如果对于任意的$x\in S$有$$x\circ x=x$$则称$\circ$运算在$S$上满足幂等律。


定义：设$\circ$和$\ast$为$S$上两个不同的二元运算，
（1）如果对于任意的$x,y,z\in S$有$$(x\ast y)\circ z=(x\circ z)\ast (y\circ z)和z\circ (x\ast y)=(z\circ x)\ast (z\circ y)$$则称$\circ$运算对$\ast$运算满足分配律。
（2）如果$\circ$和$\ast$都可交换，并且对于任意的$x,y\in S$有$$x\circ (x\ast y)=x和x\ast (x\circ y)=x$$则称$\circ$和$\ast$运算满足吸收律。


下面考虑运算的特异元素：单位元、零元、可逆元以及它们的逆元。这些特异元素也称作代数系统的代数常数。
定义：设$\circ$为$S$上的二元运算，
（1）如果存在$e_l（或e_r）\in S$，使得对任意$x\in S$都有$$e_l\circ x=x（或x\circ e_r=x）$$则称$e_l（或e_r）$是$S$中关于$\circ$运算的左（或右）单位元。若$e\in S$关于$\circ$运算既是左单位元又是右单位元，则称$e$为$S$上关于$\circ$运算的单位元。单位元也称作幺元。
（2）如果存在${\theta }_l（或{\theta }_r）\in S$，使得对任意$x\in S$都有$${\theta }_l\circ x={\theta }_l（或x\circ {\theta }_r={\theta }_r）$$则称${\theta }_l（或{\theta }_r）$是$S$中关于$\circ$运算的左（或右）零元。若$\theta \in S$关于$\circ$运算既是左零元又是右零元，则称$\theta$为$S$上关于$\circ$运算的零元。
（3）令$e$为$S$中关于运算$\circ$的单位元。对于$x\in S$，如果存在$y_l（或y_r）\in S$使得$$y_l\circ x=e（或x\circ y_r=e）$$则称$y_l（或y_r）$是$x$关于$\circ$运算的左逆元（或右逆元）。若$y\in S$既是$x$的左逆元又是$x$的右逆元，则称$y$为$x$的逆元。如果$x$的逆元存在，就称$x$是可逆的。


定义：设$\circ$为集合$S$上的二元运算，如果对于任意元素$x,y,z\in S,x\ne \theta$，都有$$x\circ y=x\circ z\Rightarrow y=z,y\circ x=z\circ x\Rightarrow y=z$$成立，则称$\circ$运算满足消去律。

例题：
例1： 设$\circ$运算为有理数集$Q$上的二元运算，$\forall x,y\in Q$，$$x\circ y=x+y-xy$$（1）判断$\circ$运算是否满足交换律和结合律，并说明理由。
（2）求出$\circ$运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。




例2： 下表给出了3个运算表，
（1）说明哪些运算是可交换的、可结合的、幂等的。
（2）求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元。

2 代数系统

2.1 代数系统的定义与实例

概念：
定义： 非空集合$S$和$S$上$k$个一元或二元运算$f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k$组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作$<S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k>$。
注意在写出一个代数系统时，经常将二元运算排在一元运算的前面。


对于代数系统$V=<S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k>$，其中的集合$S$称作载体，$S$和$f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k$都是$V$的成分。对于某些代数系统，具有某种特异元素（例如关于二元运算的单位元）也作为系统的性质。为了强调这一点，可以将这个特异元素作为系统的成分列出来。例如$<A,\circ ,e>$就是一个抽象的代数系统，其中$e$是$\circ$运算的单位云，这时也称$e$是代数常数。为了定义抽象的代数系统，除了列出它的成分之外，还需要用公理规定系统的性质，如二元运算满足某条算律，运算具有某种特异元素等。在上述代数系统$<A,\circ ,e>$中就可以规定$\circ$运算满足结合律。显然代数系统$<N,+,0>$和$<A_A,\circ ,I_A>$都是这个抽象代数系统的具体实例。在不发生混淆的情况下，也可以用载体直接标记代数系统，如$Q,Z_n$等。

例题：
例1： （1）$<N,+>,<Z,+,\cdot >,<R,+,\cdot >$是代数系统，$+$和$\cdot$分别表示普通加法和乘法。
（2）$<M_n(R),+,\cdot >$是代数系统，$+$和$\cdot$分别表示$n$阶$(n\ge 2)$实矩阵的加法和乘法。
（3）$<Z_n,\oplus ,\otimes >$是代数系统，$Z_n=0,1,\cdot \cdot \cdot ,n-1$，$\oplus$和$\otimes$分别表示模$n$的加法和乘法。
（4）$<P(S),\cup ,\cap ,\sim >$也是代数系统，$\cup$和$\cap$分别为集合的并和交，以$S$为全集，$\sim$为集合的绝对补。

2.2 代数系统的分类

概念：
定义：（1）如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统。
           （2）如果两个同类型的代数系统对应的运算所规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统。

例题：
例1：

2.3 子代数系统与积代数系统

概念：
定义： 设$V=<S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k>$是代数系统，$B$是$S$的非空子集，如果$B$对$f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k$都是封闭的，且$B$和$S$含有相同的代数常数，则称$<B,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot ,f_k>$是$V$的子代数系统，简称子代数。有时将子代数系统简记为$B$。如果$B=S$，则称$B$是$V$的平凡子代数；如果$B\subset S$，则称子代数$B$为$V$的真子代数。


对任何代数系统$V$，它的子代数一定存在，起码存在平凡子代数$V$。如果$V$的代数常数构成的集合$K$关于$V$中的所有运算封闭，这时也称$K$为$V$的平凡子代数。


当原来代数系统的公理指的是二元运算的算律（如交换律、结合律、幂等律、分类律、吸收律等），那么在它的子代数中也满足相同的算律，因此子代数与原来的代数系统是同种的代数系统。


定义： 设$V_1=<A,\circ >$和$V_2=<B,\ast >$是同类型的代数系统，$\circ$和$\ast$为二元运算，在集合$A\times B$上如下定义二元运算$\cdot$，$\forall <a_1,b_1>,<a_2,b_2>\in A\times B$，有$<a_1,b_1>\cdot <a_2,b_2>=<a_1\circ a_2,b_1\ast b_2>$，称$V=<A\times B,\cdot >$为$V_1$与$V_2$的积代数，记作$V_1\times V_2$。这时也称$V_1$和$V_2$为$V$的因子代数。


根据定义不难看出积代数与原来的代数系统是同类型的，而且可以进一步证明积代数可以保持原来代数系统中的许多性质，如交换律、结合律、幂等律、分配律和吸收律等。但是有一条性质在积代数中不一定能够保持，那就是消去律。


除了保持算律以外，积代数也可以保持特异元素。

例题：
例1：
例如，$N$是$<Z,+>$的子代数，$N$也是$<Z,+,0>$的子代数。$N-0$是$<Z,+>$的子代数，但不是$<Z,+,0>$的子代数，因为代数系统$<Z,+,0>$中的代数常数$0$不在$N-0$中。


例2：
设$V=<Z,+,0>$令$nZ=nZ|z\in Z$，$n$为给定的自然数，则$nZ$是$V$的子代数。当$n=1$和$0$时，$nZ$等于$Z$或等于$0$，是$V$的平凡的子代数，对于其他的$n$，$nZ$都是$V$的非平凡的真子代数。例如 2 Z = { 0 , ± 2 , ± 4 , ⋅ ⋅ ⋅ } 2Z={0,pm 2,pm 4,cdot cdot cdot} 2Z={0,±2,±4,⋅⋅⋅}就是$V$的真子代数。


例3：
考虑代数系统$V=<R,+>$，那么积代数$V\times V=<R\times R,+>$，例如$<1,3>+<-2,2>=<-1,5>$。

2.4 代数系统的同态与同构

概念：
定义： 设$V_1=<A,\circ >$和$V_2=<B,\ast >$是同类型的代数系统，$f:V_1\to V_2$，且$\forall x,y\in A$有$$f(x\circ y)=f(x)\ast f(y)$$则称$f$是$V_1$到$V_2$的同态映射，简称同态。
同态映射如果是单设，则称为单同态；
如果是满射，则称为满同态，这时称$V_2$是$V_1$的同态像，记作$V_1\sim V_2$；
如果是双射，则称为同构，也称代数系统$V_1$同构于$V_2$，记作$V_1\cong V_2$。
对于代数系统$V$，它到自身的同态称为自同态。
类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构。


称$x$为元素$y$的一个原像，而y称为元素x的像。
如果当$Y$中的元素都能在$X$中找到原像，那我们就称这个映射为：满射。
当在映射中$X$与$Y$的关系，也就是像与原像的关系是一一对应时，我们就称之为：单射
当这个映射满足单射和，满射两个关系时，我们就称之为：双射


同态映射的概念可以用下图来说明。定义中等式的左边是$x$与$y$先运算，得到$x\circ y$，然后将运算结果$x\circ y$映到$V_2$中的$f(x\circ y)$。等式右边是先将$x$与$y$映到$f(x)$与$f(y)$，然后将映射结果$f(x)$与$f(y)$在$V_2$中进行$\ast$运算。对于同态映射来说，无论$x$与$y$取什么值，这两种方式都会得到相同的结果。

例题：
例1：

3 几个典型的代数系统

3.1 半群与独异点

概念：
定义： （1）设$V=<S,\circ >$是代数系统，$\circ$为二元运算，如果$\circ$运算是可结合的，则称$V$为半群。
            （2）设$V=<S,\circ >$是半群，若$e\in S$是关于$\circ$运算的单位元，则称$V$是含幺半群，也称作独异点。有时也将独异点$V$记作$V=<S,\circ ,e>$。


由于半群中的运算满足结合律，可以定义元素的幂。在半群$<S,\circ >$中，$\forall x\in S$，规定$$x^1=x,x^{n+1}=x^n\circ x,n\in Z^{+}$$用数学归纳法不难证明$x$的幂遵从以下运算规则$$x^n\circ x^m=x^{n+m},{(x^n)}^m=x^{nm},m,n\in Z^{+}$$类似地，可以定义独异点$<S,\circ ,e>$中元素的幂，$\forall x\in S$，有$$x^0=e,x^{n+1}=x^n\circ x,n\in N$$独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，但其中的$m$和$n$是自然数。


半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点。根据定义可以直接得到子半群与子独异点的判定方法：
设$V=<S,\circ >$是半群，$T\subset S$，$T$非空，如果$T$对$V$中的运算$\circ$封闭，则$<T,\circ >$是$V$的子半群。
设$V=<S,\circ ,e>$是独异点，$T\subset S$，$T$非空，如果$T$对$V$中的运算$\circ$封闭，而且$e\in T$，那么$<T,\circ ,e>$构成$V$的子独异点。
对于子独异点，不但要求运算封闭，而且要求单位元$e$也在子独异点中出现。


定义： （1）设$V_1=<S_1,\circ >,V_2=<S_2,\ast >$是半群，$f:S_1\to S_2$。若对任意的$x,y\in S_1$有$$f(x\circ y)=f(x)\ast f(y)$$则称$f$为半群$V_1$到$V_2$的同态映射，简称同态。
            （2）设$V_1=<S_1,\circ ,e_1>,V_2=<S_2,\ast ,e_2>$是独异点，$f:S_1\to S_2$。若对任意的$x,y\in S_1$有$$f(x\circ y)=f(x)\ast f(y)且f(e_1)=e_2$$则称$f$为独异点$V_1$到$V_2$的同态映射，简称同态。
            因为半群和独异点只有一个二元运算，为了书写的简便，经常省略上述表达式中的算符$\circ$和$\ast$，而简记为$f(xy)=f(x)f(y)$。

例题：
例1：



例2：

3.2 群

概念：
定义： 设$<G,\circ >$是代数系统，$\circ$为二元运算。如果$\circ$运算是可结合的，存在单位元$e\in G$，并且对$G$中的任何元素$x$都有$x^{-1}\in G$，则称$G$为群。


定义： （1）若群$G$是有穷集，则称$G$是有限群，否则称为无限群。群$G$的元素数称为群$G$的解阶，有限群$G$的阶记作$|G|$。
            （2）只含单位元的群称为平凡群。
            （3）若群$G$中的二元运算是可交换的，则称$G$为交换群或阿贝尔(Abel)群。


定义： 设$G$是群，$a\in G,n\in Z$，则$a$的$n$次幂定义如下：$$a^n=\{\begin{array}{cc}e& n=0\\ a^{n-1}a& n>0\\ {(a^{-1})}^m& n<0,n=-m\end{array}$$与半群和独异点不同，群中元素可以定义负整数次幂。


定义： 设$G$是群，$a\in G$，使得等式$a^k=e$成立的最小正整数$k$称为$a$的阶，记作$|a|=k$，这时称$a$为$k$阶元。若不存在这样的正整数$k$，则称$a$为无限阶元。


定理： 设$G$为群，则$G$中的幂运算满足：
（1）$\forall a\in G,(a^{-1}{)}^{-1}=a$.
（2）$\forall a,b\in G,{(ab)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$.
（3）$\forall a\in G,a^n{a}^m=a^{n+m},n,m\in Z$.
（4）$\forall a\in G,(a^n{)}^m=a^{nm},n,m\in Z$.
（5）若$G$为交换群，则$(ab{)}^n=a^n{b}^n$.


定理： $G$为群，$\forall a,b\in G$，方程$ax=b$和$ya=b$在$G$中有解且仅有唯一解。


定理： $G$为群，则$G$中适合消去律，即对任意$a,b,c\in G$，有
（1）若$ab=ac$，则$b=c$。
（2）若$ba=ca$，则$b=c$。


定理： $G$为群，$a\in G$且$|a|=r$。设$k$是整数，则
（1）$a^k=e$当且仅当$r|k$。
（2）$|a^{-1}|=|a|$。


定义： 设$G$是群，$H$是$G$的非空子集，如果$H$关于$G$中的运算构成群，则称$H$是$G$的子群，记作$H\le G$。若$H$是$G$的子群，且$H\subset G$，则称$H$是$G$的真子群，记作$H<G$。


定理： 设$G$为群，$H$是$G$的非空子集，则$H$是$G$的子群当且仅当
（1）$\forall a,b\in H有ab\in H$.
（2）$\forall a\in H有a^{-1}\in H$.


定理： 设$G$为群，$H$是$G$的非空子集。$H$是$G$的子群当且仅当$\forall a,b\in H有a{b}^{-1}\in H$。


定义： 设$G_1,G_2$是群，$f:G_1\to G_2$，若$\forall a,b\in G_1$都有$f(ab)=f(a)f(b)$，则称$f$是群$G_1$到$G_2$的同态映射，简称同态。


定义： 设$G$是群，若存在$a\in G$使得 G = { a k ∣ k ∈ Z } G={a^k|k in Z} G={ak∣k∈Z}，则称$G$是循环群，记作$G=<a>$，称$a$为$G$的生成元。
对于循环群$G=<a>$，根据生成元$a$的阶可以将它们分成两类：$n$阶循环群和无限循环群。
若$a$是$n$阶元，则 G = { a 0 = e , a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n − 1 } G={a^0=e,a^1,a^2,cdot cdot cdot,a^{n-1}} G={a0=e,a1,a2,⋅⋅⋅,an−1}，那么$|G|=n$，称$G$为$n$阶循环群。
若$a$是无限阶元，则 G = { a 0 = e , a ± 1 , a ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ } G={a^0=e,a^{pm 1},a^{pm 2},cdot cdot cdot} G={a0=e,a±1,a±2,⋅⋅⋅}，这时称$G$为无限循环群。


定理： 设$G=<a>$是循环群。
（1）若$G$是无限循环群，则$G$只有两个生成元，即$a$和$a^{-1}$。
（2）若$G$是$n$阶循环群，则$G$含有$\varphi (n)$个生成元。这里的$\varphi (n)$是欧拉函数，对于任何小于$n$且与$n$互素的自然数$r$，$a^r$是$G$的生成元。
在数论中，对正整数$n$，欧拉函数是小于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目.


定理： 设$G=<a>$是循环群，那么
（1）$G$的子群仍是循环群。
（2）若$G=<a>$是无限循环群，则$G$的子群除$e$以外都是无限循环群。对于任何自然数$r,<a^r>$都是$G$的一个子群，且对于不同的$r$，所得到的子群$<a^r>$也不同。
（3）若$G=<a>$是$n$阶循环群，则对$n$的每个正因子$d$，$G$恰好含有一个$d$阶子群，就是$<a^{\frac{n}{d}}>$。


定义： 设 S = { 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n } S={1,2,cdot cdot cdot,n} S={1,2,⋅⋅⋅,n}，$S$上的任何双射函数$\sigma :S\to S$称为$S$上的$n$元置换。一般将$n$元置换$\sigma$记为$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdot \cdot \cdot & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdot \cdot \cdot & \sigma (n)\end{array}\right)$$


定义： 设$\sigma ,\tau$是$n$元置换，$\sigma$和$\tau$的复合$\sigma \circ \tau$也是$n$元置换，称为$\sigma$与$\tau$的乘积，记作$\sigma \tau$。
如果在两个$n$元置换$\sigma$和$\tau$的作用下只有部分元素发生了改变，同时其他元素保持不变，并且在$\sigma$和$\tau$的作用下发生改变的元素彼此不同，那么可以证明这两个置换复合的结果与置换的次序无关，即$\sigma \tau =\tau \sigma$。


定义： 设$\sigma$是$S=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n$上的$n$元置换。若$$\sigma (i_1)=i_2,\sigma (i_2)=i_3,\cdot \cdot \cdot ,\sigma (i_{k-1})=i_k,\sigma (i_k)=i_1$$且保持$S$中的其他元素不变，则称$\sigma$为$S$上的$k$阶轮换，记作$(i_1{i}_2\cdot \cdot \cdot i_k)$。若$k=2$，称$\sigma$为$S$上的对换。


轮换： 设$S=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n$，对于任何$S$上的$n$元置换$\sigma$一定存在着一个有限序列$i_1,i_2,\cdot \cdot \cdot ,i_k,k\ge 1$（可以取$i_1=1$），使得$$\sigma (i_1)=i_2,\sigma (i_2)=i_3,\cdot \cdot \cdot ,\sigma (i_{k-1})=i_k,\sigma (i_k)=i_1$$令${\sigma }_1=(i_1{i}_2\cdot \cdot \cdot i_k)$。它是从$\sigma$中分解出来的第一个轮换。根据复合定义可将$\sigma$写作${\sigma }_1{\sigma }^{\prime }$，其中${\sigma }^{\prime }$作用于 S − { i 1 , i 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , i k } S-{i_1,i_2,cdotcdotcdot,i_k} S−{i1​,i2​,⋅⋅⋅,ik​}上的元素。继续对${\sigma }^{\prime }$进行类似的分解。由于$S$中只有$n$个元素，经过有限步以后，必得到$\sigma$的轮换分解式$\sigma ={\sigma }_1{\sigma }_2\cdot \cdot \cdot {\sigma }_t$。


对换： 除了表达成轮换之外，任何$n$元置换还可以表示成对换的乘积。为此，只需证明任何轮换都可以表示成对换乘积就足够了。这可以由下述$k$阶轮换表达式来证明：$(i_1{i}_2\cdot \cdot \cdot i_k)=(i_1{i}_2)(i_1{i}_3)\cdot \cdot \cdot (i_1{i}_k)$。
如果一个$n$元置换在它的对换表示式含有偶数个对换，则称为偶置换，否则称为奇置换。


考虑所有的$n$元置换构成的集合$S_n$，显然$S_n$关于置换的乘法是封闭的，置换的乘法满足结合律，恒等置换$(1)$是$S_n$中的单位元，对于任何$n$元置换$\sigma \in S_n$，逆置换${\sigma }^{-1}$是$\sigma$的逆元。这就证明了$S_n$关于置换的乘法构成一个群，称为$n$元对称群。$n$元对称群的子群称为$n$元置换群。

例题：
例1：



例2：



例3：



例4：



例5：



例6：



例7：



例8：



例9：



例10：



例11：



例12：

3.3 环与域

概念：
定义： 设$<R,+,\cdot >$是代数系统，$+$和$\cdot$是二元运算。如果满足以下条件：
（1）$<R,+>$构成交换群。
（2）$<R,\cdot >$构成半群。
（3）$\cdot$运算关于$+$运算适合分配律。
则称$<R,+,\cdot >$是一个环。
为了叙述的方便，通常称$+$运算为环中的加法，$\cdot$运算为环中的乘法。环中加法单位元记作$0$，乘法单位元（如果存在）记作$1$。对任何元素$x$，称$x$的加法逆元为负元，记作$-x$。若$x$存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作$x^{-1}$。因此在环中写$x-y$意味着$x+(-y)$。


定理： 设$<R,+,\cdot >$是环，则
（1）$\forall a\in R,a0=0a=0$.
（2）KaTeX parse error: Undefined control sequence: inR at position 13: forall a,b ̲i̲n̲R̲,(-a)b=a(-b)=-a….
（3）$\forall a,b,c\in R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca$.
（4）$\forall a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n,b_1,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_m\in R(n,m\ge 2)$.$$(\sum _{i=1}^n{a}_i)(\sum _{j=1}^m{b}_j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j$$从上述定理可以看出，环中加法的单位元恰好是乘法的零元。在环中进行计算，除了乘法不能使用交换律以外，其他都与普通数的运算相同。


定义： 设$R$是环，$S$是$R$的非空子集。若$S$关于环$R$的加法和乘法也构成一个环，则称$S$为$R$的子环。若$S$是$R$的子环，且$S\subset R$，则称$S$是$R$的真子环。


定理： 设$R$是环，$S$是$R$的非空子集，若
（1）$\forall a,b\in S,a-b\in S$.
（2）$\forall a,b\in S,ab\in S$.
则$S$是$R$的子环。


定义： 设$R_1$和$R_2$是环。$f:R_1\to R_2$，若对于任意的$x,y\in R_1$有$$f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)$$成立，则称$f$是环$R_1$到$R_2$的同态映射，简称环同态。


定义： 设$<R,+,\cdot >$是环，
（1）若环中乘法$\cdot$适合交换律，则称$R$是交换环。
（2）若环中乘法$\cdot$存在单位元，则称$R$是含幺环。
（3）若$\forall a,b\in R,ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$，则称$R$是无零因子环。
（4）若$R$既是交换环、含幺环，也是零因子环，则称$R$是整环。
解释一下零因子的概念。作为数的乘法，如果$ab=0$，那么一定有$a=0$或者$b=0$。但是，作为一般环的乘法不一定满足这条性质。有时候两个不为0的元素乘起来却等于0.例如在模6整数环中，有$3\otimes 2=0$，而3和2都不是乘法的零元。这时称3为左零因子，2为右零因子。这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环。


定义： 设$R$是整环，且$R$中至少含有两个元素。若$\forall a\in R^{\ast }$，其中 R ∗ = R − { 0 } R^*=R-{0} R∗=R−{0}，都有$a^{-1}\in R$，则称$R$是域。

例题：
例1：



例2：



例3：



例4：



例5：



例6：



例7：



例8：

3.4 格与布尔代数（用到的时候再来补，目前用不到）

概念：

最后

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