第十四章 代数系统

代数系统称为代数结构，包括群，环，域，格和布尔代数等典型系统。

代数系统提供不同实际问题高度抽象的途径，使人们更能把握住事物的本质。

14.1 二元运算及其性质

• 代数运算：在非空集合 $S$ 上的映射 $f:S^n⟶S$ 称为 $S$ 上的 $n$ 元代数运算。当 $n=2$ 时称为二元运算。一般采用 $“\ast ”，“\cdot ”$ 表示一般的二元运算。
  • 运算表：表示二元运算，集合 $S$ 元素较少时可用
  • 性质：
    1. 封闭性：$\forall a,b\in S$，有 $a\cdot b\in S$
    2. 交换律：$\forall a,b\in S$，有 $a\cdot b=b\cdot a$
    3. 结合律：$\forall a,b,c\in S$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
    4. 幂等律：$\forall a\in S$，有 $a\cdot a=a$
  • 定义：
    1. 分配律：$\forall a,b,c\in S$，若 $a\cdot (b\ast c)=(a\cdot b)\ast (a\cdot c)$ 且 $(b\ast c)\cdot a=(b\cdot a)\ast (c\cdot a)$ 则称 $“\cdot ”$ 关于 $“\ast ”$ 在 $S$ 上是可分配的。
    2. 吸收律：若 $a\cdot (a\ast b)=a$ 且 $a\ast (a\cdot b)=a$，则运算 $“\ast ”$ 与 $“\cdot ”$ 满足吸收律。

14.2 代数系统

• 代数系统：称非空集合 $S$ 和其运算 $f_1,f_2,...,f_n$ 组成的系统称为代数系统。简称代数，记为 $<S,f_1,f_2,...,f_n>$

  • 判断条件：1. $S$ 非空。2. 运算满足封闭性。

• 特异元：对于代数系统 $<S,\ast >$

  • 单位元/幺元 Identity e：$\exists e\in S$，对 $\forall a\in S$，都有 $a\ast e=e\ast a=a$

  • 零元 $\theta$：$\exists \theta \in S$，对 $\forall a\in S$，都有 $a\ast \theta =\theta \ast a=\theta$

    $例$：集合 $P$ 有全集 $S$，则

    代数系统	单位元	零元
    $<P,\bigcap >$	$\varnothing$	$S$
    $<P,\bigcup >$	$S$	$\varnothing$
    $<N,+>$	$0$	无

  • 幂等元 $a$：$\exists a\in S$，满足 $a\ast a=a$

  • 逆元：若对 $a\in S$，满足 $\exists b\in S$，使得 $a\ast b=b\ast a=e$，则称 $b$ 是 $a$ 的逆元 ，记作 $b=a^{-1}$。

    注意：并不是每个元都有逆元

  • 性质：

    1. 若存在幺元，则幺元唯一

    2. 若存在零元，则零元唯一

    3. 若 $\ast$ 满足结合律且存在幺元，则对 $\forall a\in S$，若 $a$ 存在逆元，则逆元唯一。

       证明：若 $a$ 有两个幺元 $a_1,a_2$，则 $a_1=a_1\ast (a\ast a_2)=(a_1\ast a)\ast a_2=a_2$

14.3 半群与含幺半群

• 定义：二元代数系统 $<S,\ast >$

  • 广群：只含一个封闭的二元运算 $“\ast ”$ 的代数系统

  • 半群 Semigroup：$“\ast ”$ 为可结合的运算的广群

  • 含幺半群 Monoid：存在幺元 $e$ 的半群，记作 $<S,\ast ,e>$

  • 群 Group：每个元素都有逆元的含幺半群

    群(逆) $\subset$ 含幺半群(幺) $\subset$ 半群(结) $\subset$ 广群(闭)

    $例$：

    $<Z,+>,<Z,\times >$	$<Q^{+},+>$
    可换的含幺半群	可换的半群(无幺元，零元，幂等元)

最后

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