信号与系统——差分方程的建立及经典解法

离散系统的解析描述--建立差分方程

1. 差分的定义

移位序列：设有序列f(k), 则… , f(k+2), f(k+1), f(k-1)，f(k-2)，… 等称为f(k)的移位序列。

差分运算：

一阶前向差分定义：

一阶后向差分定义：

我们主要用后向差分，简称为差分

差分的线性性质：

二阶差分定义：

m阶差分：

2. 差分方程

差分方程：由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。

差分方程的一般形式：

方程的阶数：未知变量最高序号与最低序号的差。

由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。

描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程

差分方程的模拟框图

1.基本部件单元

数乘器

加法器

迟延单元(移位器)

2. 由框图建立差分方程

例 已知框图，写出系统的差分方程

差分方程的经典解法

1.递推迭代

差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解

注：迭代法一般不易得到解析形式的(闭合)解。

2.经典法

与连续系统的微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解yh(k)和特解yp(k)两部分组成，即 

齐次解是对应齐次差分方程的解：

由特征根可以设定齐次解的函数形式。

特解的函数形式与激励的函数形式有关。

3.齐次解的常用函数形式

4.特解的常用函数形式

说明：差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，特解也称为强迫响应。本例中由于|λ|>1，故自由响应随k的增大而增大。

解：(1) 列出y(k)的差分方程

零输入响应的定义和求解

1.零输入响应的定义

零输入响应：离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，用yzi(k)表示。

2.初始值的确定

3.求解步骤

(1)求特征方程的特征根;

(2)设定齐次解；

(3)直接代入初始状态 yzi(-l), l = 0, 1, … n-1, 求待定系数

零状态响应的定义和求解

1.零状态响应的定义

零状态响应：系统的初始状态yzs(-l)=0, l =1, 2, … n，为零，仅由激励 f(k)引起的响应，用yzs (k)表示。

2.初始值的确定

由迭代法求出初始值yzs(j)， j= 0, 1, …n-1

3.求解步骤

(1)设定齐次解；

(2)设定特解，代入方程求解；

(3)代入初始值，求待定系数

斐波那契(Fibonacci)数列问题

假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会死亡。在最初一个月内有一对大兔子，问第n个月时一共有几对兔子.

解：每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。

设y(k)为第k个月兔子对的数量。

第k个月兔子无论大小，在第k+1个月都会成为大兔子，从而在第k+2 个月中生出y(k)个小兔子

第k个月兔子无论大小，在第k+1个月都会成为大兔子，从而在第k+2 个月中生出y(k)个小兔子

而第k+2月中兔子的总个数y(k+2)等于大兔子对数y(k+1)与小兔子对的数量y(k)之和;

y(k+2)=y(k+1)+y(k)

这就是斐波那契数列问题的差分方程，即：

y(k+2)-y(k+1)-y(k)=0

简单空运控制系统

一个空运控制系统，它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某飞机应有的高度x(k)，另外用一雷达同时对此飞机实测一次高度y(k)，把应有高度x(k)与一秒钟前的实测高度y(k-1)相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。试建立该问题的差分方程。 

解：从第k-1秒到第 k秒这1秒钟内飞机升高为

K[x(k) - y(k -1)] = y(k) - y(k -1) 

整理得：

y(k) +(K -1)y(k -1) = Kx(k)

RC取样输入和输出关系

一个RC电路如左图所示，输入端加取样电压信号e(t)，如右图所示。试写出此系统每隔时间T输出电压u(k)与输入信号间关系的差分方程。

解：取样信号e(t)表示为如下冲激序列之和

上式即为描述输出离散电压与输入取样电压间关系的差分方程。

Matlab求解离散系统的零状态响应

在零状态时，MATLAB工具箱提供了一个filter函数，计算由差分方程描述的系统响应，其调用格式为

其中b=[b0,b1,b2,…, bm]，a=[a0,a1,a2,…, an]分别是差分方程左右的系数向量，f表示输入序列，y表示系统的零状态响应。注意输出和输入序列的长度相同。

解：

R=51; %输入信号长度

d=rand(1,R)-0.5; %产生离散随机数

k=0:R-1;

s=2*k.*(0.9.^k);

f=s+d;

figure(1);stem(k,f,‘.’); %显示加噪信号

M=5;b=ones(M,1)/M; % f 前系数均为1/M

a=1;

y=filter(b,a,f); %求零状态响应

figure(2);

stem(k,y,‘.’); %显示平滑滤波结果 

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