概述
离散信号分解为冲击信号
分析线性系统对给定输入信号响应可以得到线性系统的特性。
先将输入信号分解成基本信号的和，然后利用系统的线性特性，将系统对基本信号的响应相加就得到了系统对输入信号的总响应。
具体操作时，可以将信号分解为单位采样序列的加权和。
为了将信号分解为单位采样序列的加权和，必须先求解系统对单位采样序列的响应。
选择基本信号
x
(
k
)
x(k)
x(k)
x
k
(
n
)
=
δ
(
n
−
k
)
x_k(n) = delta(n-k)
xk(n)=δ(n−k)
k
k
k表示单位采样序列的延迟
将
x
(
n
)
x(n)
x(n)和
δ
(
n
−
k
)
delta(n-k)
δ(n−k)相乘，因为
δ
(
n
−
k
)
delta(n-k)
δ(n−k)只有在
n
=
k
n=k
n=k时，取值1，其他
n
≠
k
nneq k
n=k取0，所以
x
(
n
)
δ
(
n
−
k
)
=
x
(
k
)
δ
(
n
−
k
)
x(n)delta(n-k) = x(k)delta(n-k)
x(n)δ(n−k)=x(k)δ(n−k)上式的结果是一个序列，只有在
n
=
k
n=k
n=k时，取值
x
(
k
)
x(k)
x(k)，其他处值为0。
要再次强调
x
(
k
)
δ
(
n
−
k
)
x(k)delta(n-k)
x(k)δ(n−k)是一个序列。
重复计算所有的延时k的乘积，并将所有序列相加就得到了
x
(
n
)
x(n)
x(n)，
x
(
n
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
δ
(
n
−
k
)
x(n) = sum_{k=-infty}^{+infty}x(k)delta(n-k)
x(n)=k=−∞∑+∞x(k)δ(n−k)
LTI系统对任意输入的响应：卷积和
对于一般的系统，
用
τ
tau
τ表示系统，
h
(
n
,
k
)
h(n,k)
h(n,k)表示系统对输入单位采样序列再n=k处的响应，
y
(
n
,
k
)
=
h
(
n
,
k
)
=
τ
[
δ
(
n
−
k
)
]
y(n,k)=h(n,k)= tau [delta(n-k)]
y(n,k)=h(n,k)=τ[δ(n−k)]
将任意信号
x
(
n
)
x(n)
x(n)分解成冲激的加权和，系统对输入的响应
y
(
n
)
y(n)
y(n)也是响应加权输出的和，即
y
(
n
)
=
τ
[
x
(
n
)
]
=
τ
[
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
δ
(
n
−
k
)
]
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
τ
[
δ
(
n
−
k
)
]
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
h
(
n
,
k
)
y(n) = tau [x(n)]=tau left [ sum_{k=-infty}^{+infty}x(k)delta(n-k) right ]=sum_{k=-infty}^{+infty}x(k)tau left [ delta(n-k) right ]=sum_{k=-infty}^{+infty}x(k)h(n,k)
y(n)=τ[x(n)]=τ[k=−∞∑+∞x(k)δ(n−k)]=k=−∞∑+∞x(k)τ[δ(n−k)]=k=−∞∑+∞x(k)h(n,k)
对于LTI系统，根据时不变特性
h
(
n
)
=
τ
[
δ
(
n
)
]
h(n) = tau[delta(n)]
h(n)=τ[δ(n)]
h
(
n
−
k
)
=
τ
[
δ
(
n
−
k
)
]
h(n-k) = tau[delta(n-k)]
h(n−k)=τ[δ(n−k)]
y
(
n
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
h
(
n
−
k
)
y(n) =sum_{k=-infty}^{+infty}x(k)h(n-k)
y(n)=k=−∞∑+∞x(k)h(n−k)
这个形式称为卷积和，输入与冲激响应函数的卷积产生输出。
求和变量为
k
k
k，输入信号
x
(
k
)
x(k)
x(k)和冲击响应
h
(
n
−
k
)
h(n-k)
h(n−k)都是k的函数。
序列
x
(
k
)
x(k)
x(k)和
h
(
n
−
k
)
h(n-k)
h(n−k)的乘积构成乘积序列。
y
(
n
)
y(n)
y(n)是乘积序列所有值的和。
x
(
k
)
x(k)
x(k)和
h
(
k
)
h(k)
h(k)的卷积计算过程：
（1）将
h
(
k
)
h(k)
h(k)关于
k
=
0
k=0
k=0反转，得到
h
(
−
k
)
h(-k)
h(−k)
（2）移位，
h
(
n
0
−
k
)
h(n_0-k)
h(n0−k),
n
0
n_0
n0大于0，表示将
h
(
−
k
)
h(-k)
h(−k)向右移，反之向左移。
（3）序列相乘，得到乘积序列
（4）将乘积序列的所有值相加得到输出值。
举个栗子：
所以最终的结果为：
0
0
0
1
4
8
8
3
0
0
{0 0 0 1 4 8 8 3 0 0}
0 0 0 1 4 8 8 3 0 0
卷积的性质
交换律
{ y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ k = − ∞ + ∞ x ( n ) h ( n − k ) y ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) = ∑ k = − ∞ + ∞ h ( n ) x ( n − k ) left{begin{matrix} yleft ( n right ) = xleft ( n right )ast hleft ( n right ) = sum_{k=-infty}^{+ infty}xleft ( n right )hleft ( n-k right )\ yleft ( n right ) = hleft ( n right )ast xleft ( n right ) = sum_{k=-infty}^{+ infty}hleft ( n right )xleft ( n-k right ) end{matrix}right. {y(n)=x(n)∗h(n)=∑k=−∞+∞x(n)h(n−k)y(n)=h(n)∗x(n)=∑k=−∞+∞h(n)x(n−k)
结合律
y
(
n
)
=
[
x
(
n
)
∗
h
1
(
n
)
]
∗
h
2
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
[
h
1
(
n
)
∗
h
2
(
n
)
]
yleft ( n right ) = left [ xleft ( n right )ast h_1 left ( n right ) right ] ast h_2 left ( n right )=x left ( n right )ast left [ h_1 left ( n right )ast h_2 left ( n right ) right ]
y(n)=[x(n)∗h1(n)]∗h2(n)=x(n)∗[h1(n)∗h2(n)]
物理意义：
改变两个系统的响应次序不影响整个系统的输入-输出关系
分配律
y
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
[
h
1
(
n
)
+
h
2
(
n
)
]
=
x
(
n
)
∗
h
1
(
n
)
+
x
(
n
)
∗
h
2
(
n
)
yleft ( n right ) = x left ( n right )ast left [ h_1 left ( n right )+ h_2 left ( n right ) right ]=x left ( n right )ast h_1 left ( n right ) + x left ( n right )ast h_2 left ( n right )
y(n)=x(n)∗[h1(n)+h2(n)]=x(n)∗h1(n)+x(n)∗h2(n)
物理意义：
两个并联的系统
h
1
(
n
)
h_1 left ( n right )
h1(n),
h
2
(
n
)
h_2 left ( n right )
h2(n)可有替换为一个单系统，单系统的满足关系为
h
(
n
)
=
h
1
(
n
)
+
h
2
(
n
)
h left ( n right ) = h_1 left ( n right ) + h_2 left ( n right )
h(n)=h1(n)+h2(n)
最后
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