【离散数学】代数系统

一、代数系统的基本性质

基本要求：

• 定义的运算满足映射的唯一性——复合函数定义
• 封闭性

1 涉及一个二元运算

交换律

结合律        左结合且右结合  证明不满足结合律只能找反例

幂等律

消去律        

2 涉及两个不同二元运算

分配律（二元运算）左分配且右分配

e.g<X,*,+>,*对+满足分配律的话应该有：

任意x1,x2,x3属于X,

左分配：x1*(x2+x3)=x1*x2+x1*x3

&&

右分配：(x2+x3)*x1=x2*x1+x3*x1        

or 只证明一边，再证明交换律成立

吸收律——针对可交换的两个运算

3 二元运算的特异元素

幺元        左幺元 && 右幺元

零元        左零元 && 右零元

幂等元  运算表对角线元素为对应列的一个元素叫幂等元

可逆元及其逆元

二、同构 & 同态

• 求解两个代数系统之间的同构/同态
• 判断某个函数是否为两个代数系统之间的同构（同态）
  • 证明f是V1到V2的同态映射の步骤：
    •  判断两个代数系统是不是同类型的
    • 看f的定义域是否和V1的定义域相同，以及f的值域是否是V2定义域的子集
    • 判断所有元素是否满足运算的像等于像的运算
  • 证明f是V1到V2的同构映射の步骤：
    •  判断两个代数系统是不是同类型的
    • 看f是不是双射、f的定义域是否和V1的定义域相同，以及f的值域是否与V2定义域相同
    • 判断所有元素是否满足运算的像等于像的运算

已知同类型的代数系统S1=<U,+> S2= <V,*>和映射f:U->V

根据f的类型，可以产生不同的映射：

• f为满射，则f为两个代数系统之间的满同态映射
• f为单射，f为两个代数系统之间的单一同态映射
• f为内射，且两个代数系统相同，则f为两个代数系统之间的自同态映射
• f是双射，f为两个代数系统之间的同构映射
• f为双射，且两代数系统相同，f为两个代数系统之间的自同构映射

积代数 S1xS2=<UxV,#>,对任意<u,v><uu,vv>属于UxV,<u,v>#<uu,vv> =<  u+uu , v*vv  >

...........n个小代数系统可以生成大的代数系统

同余关系

给定<S,*>,E为S中的等价关系，E关于*有代换性质，即

任意x,xx,y,yy属于S,其中x,xx在一个等价类里（xExx），y,yy在一个等价类里(yEyy)，

那么x*y和xx*yy在一个等价类里((x*y)E(xx*yy))

同余关系の性质：

从任何一个同态映射中可以诱导出一个同余关系

商代数：一个很大的代数系统可以生成若干个小代数系统~运算的等价类等于等价类的运算

商代数の性质:

一个代数系统和其商代数同态，并且可以构造从这个运算到其商代数的自然同态映射g(x) = [x]_R

最后

以上就是虚拟茉莉为你收集整理的【离散数学】代数系统的全部内容，希望文章能够帮你解决【离散数学】代数系统所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。