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控制对象

连续对象离散化

设计数字观测器

考虑有限字长效应

设计加法器

缩放

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控制对象

连续对象离散化

离散化的具体方法及证明参考现代控制论或计算机控制技术。这里只说明如何建模。

改写成连续状态空间方程形式

其中：

连续状态方程离散化

matlab代码如下：

Ad=expm(AH*Tk)
Bd = Ad*inv(AH)*([1 0;0 1]-inv(Ad))*BH

simulink仿真图图下：

离散化系统与原系统输出比较

​​​​​​​

设计数字观测器

全维数字状态观测器设计的计算可参考计算机控制技术

判断系统可观性：

>> rank(obsv(AH,C))
ans =
2

系统可观 

离散系统全维状态观测器方程

其中

计算反馈矩阵G

假设希望观测器的特征根位于 其中原状态方程特征根的最小值。使用maltab命令acker计算G

lamdaA = eig(Ad);
lamda = abs(max(eig(Ad)))^5+(abs(min(eig(Ad)))^3-abs(min(eig(Ad)))^5)*rand();
Lamda = [lamda;lamda];
%------------------------------------------------------------------------------%
G = acker(Ad',C',Lamda);
K = G'; 

带观测器的simulink模型 

考虑有限字长效应

设计加法器

数字观测器在物理实现时，计算硬件的位数是不无限的，因此设计观测器前需要考虑有限字长效应。在这个例子中考虑加法器的有限字长效应。上一小节中输出y最大值2831<2^12因此加法器的最大位数为12。

设计加法器，使用simulink中的S-Function Builder 模块

打开模块进行设置 ，加法器有两个输入一个输出一个参数如下图

 在/* Output_BEGIN */下方输入如下代码后编译

%%%参数m 加法器的位数
long x1,x2,M,n1;
int n;
n=m[0];
M=1;
while (n>0)
{M=M*2;
n--;}
M=M-1;
n1=u0[0];
if(n1>=0) x1=n1&M;
else x1= -((-n1)&M);
n1=u1[0];
if(n1>=0) x2=n1&M;
else x2= -((-n1)&M);
y0[0]=x1+x2;

然后将原模型中的加法器替换如下图

 进行仿真

 可以看到观测器的输入与控制对象的输出在稳态时有误差，注意到图中的增益模块gain的系数很小使得进入到加法器的值很小，而加法器只能表示整数，因此导致较大的误差，为了解决这个问题，使用缩放方法减小稳态误差。

缩放

例如将状态分别缩小百分之80和20，则可以得到新的状态方程，其中ds

matlab 代码

m1=1/80;
m2=1/20;
M=[m1 0;0 m2];
AD = inv(M)*Ad*M
BD = inv(M)*Bd
CD = C*M

simulink仿真图

注意到此时增益数比原模型的要大一些，因此推断数字系统观测器的输出与原系统输出的稳态误差应该会减少。

观测器与控制对象状态变量和输出的比较

上图证明了推断，对系统状态变量的缩放的确可以降低有限字长效应的影响，并且注意到数字观测器和原系统的状态变量仍然存在稳态误差，因此缩放只是降低了误差而不是消除。

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