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概述

系统模型：

闭环极点设计分离性

设计系统输出反馈系数K

转换标准能控型

设计反馈矩阵G

仿真

matlab代码

simulink模型

仿真结果

仿真程序下载地址：连续定常系统全维状态观测器simulink仿真m代码-智慧城市文档类资源-CSDN下载

全维数字观测器输出反馈-智能家居文档类资源-CSDN下载

系统模型：

$begin{gathered} a=left[begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{array}right], b=left[begin{array}{l} 0 \ 0 \ 0 \ 1 end{array}right], c=left[begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 end{array}right] \ dot{x}=a x+b u \ y=c x end{gathered}$

闭环极点设计分离性

闭环系统的极点包括 $sigma_{0}$ 直接状态反馈系统 $sigma_{k}=(a+kb,b,c)$ 的极点和观测器
$sigma_g$ 的极点两部分。但二者独立，相互分离。表明，由观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项式等于矩阵（A+BK）与矩阵（A-GC）的特征多项式的乘积。亦即闭环系统的极点等于直接状态反馈（A+BK）的极点和状态观测器（A-GC）的极点之总和，而且二者相互独立。因此只要系统（A，B，C）能控能观，则系统的状态反馈矩阵K和观测器反馈矩阵G可分别进行设计。这个性质称为闭环极点设计的分离性。

图1 渐进状态观测器图2输出反馈

$hat{hat{x}}=(a-g c) hat{x}+g y+b u$ $begin{aligned} &dot{x}=(a+b k) x+b v \ &y=(c+d k) x+d v end{aligned}$

设计系统输出反馈系数K

证明系统能控性

$rank(left[b a b a^{2} b a^{3} bright])=4$

转换标准能控型

系统传递函数

$w(s)=c(s i-a)=frac{-3 s+2}{s^{2}}$

线性非奇异变换矩阵

$t=left[a^{3} b a^{2} b quad a b quad bright]left[begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \ a 3 & 1 & 0 & 0 \ a 2 & a 3 & 1 & 0 \ a 1 & a 2 & a 3 & 1 end{array}right]$

标准能控1型

$begin{aligned} &tilde{a}=t^{-1} a t=left[begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{array}right]\ &tilde{b}=t^{-1} b=left[begin{array}{l} 0 \ 0 \ 0 \ 1 end{array}right]\ &tilde{c}=c t=left[begin{array}{llll} 2 & -3 & 0 & 0 end{array}right] end{aligned}$

加入状态反馈增益矩阵

$begin{aligned} widetilde{k}=k t &=[k 0, k 1, k 2, k 3] \ tilde{a}+tilde{b} widetilde{k} &=left[begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ k 0 & k 1 & k 2 & k 3 end{array}right] end{aligned}$

闭环特征多项式

$f(lambda)=|lambda i-(tilde{a}+tilde{b} widetilde{k})|=lambda^{4}-k 3 lambda^{3}-k 2 lambda^{2}-k 1 lambda-k 0$

使闭环极点与期望的极点相符求出增益K

$begin{gathered} lambda_{1,2}^{*}=-1, lambda^{*}{ }_{3,4}=pm j \ f^{*}(lambda)=(lambda+1)^{2}left(lambda^{2}+1right)=lambda^{4}+2 lambda^{3}+2 lambda^{2}+2 lambda+1 \ f(lambda)=f^{*}(lambda) \ widetilde{k}=k t=[-1,-2,-2,-2] \ k=[-0.5,1.75,7.25,-2] end{gathered}$

设计反馈矩阵G

验证系统能观

$operatorname{rank}left[begin{array}{c} c \ c a \ c a^{2} \ c a^{3} end{array}right]=4$

观测器方程

$begin{gathered} left{begin{array}{c} dot{hat{x}}=a hat{x}+b u+g(y-hat{y}) \ hat{y}=chat{x} end{array}right. \left{begin{array}{c} hat{x}=(a-g c) hat{x}+b u+g y \ hat{y}=c hat{x} end{array}right. end{gathered}$

非奇异变换

$t^{-1}=left[begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{array}right]left[begin{array}{c} c a^{3} \ c a^{2} \ c a \ c end{array}right]$

能观标准2型

$begin{aligned} &a=t^{-1} a t=left[begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 end{array}right]\ &bar{b}=t^{-1} b=left[begin{array}{c} 2 \ -3 \ 0 \ 0 end{array}right]\ &bar{c}=c t=left[begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 end{array}right] end{aligned}$

闭环特征多项式

$begin{gathered} bar{g}=t g=[g 0, g 1, g 2, g 3] \ ddot{a}-tilde{g} c=left[begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & -g 0 \ 1 & 0 & 0 & -g 1 \ 0 & 1 & 0 & -g 2 \ 0 & 0 & 1 & -g 3 end{array}right] end{gathered}$

$f(lambda)=|lambda i-(bar{a}-bar{g} bar{c})|=lambda^{4}+g 3 lambda^{3}+g 2 lambda^{2}+g 1 lambda+g 0$

使闭环极点与期望的极点相符求出增益G

$begin{gathered} f^{*}(lambda)=(lambda+1)^{4}=lambda^{4}+4 lambda^{3}+6 lambda^{2}+4 lambda+1 \ f(lambda)=f^{*}(lambda) \ g=t g=[4,6,4,1] \ g=[4,-6,-2.75,-0.5] end{gathered}$

仿真

matlab代码

clear
A = [0 -1 0 0;0 0 2 3;0 0 0 -1;0 0 0 0];
B = [0;0;0;1];
C = [1 0 0 0];
%配置目标极点
K = acker(A,B,[-1,-1,-1+i,-1-i]);
%设计观测器
G=acker(A',C',[-1,-1,-1,-1])';