1. 什么是树状数组？

树状数组是一个查询和修改复杂度都为 $O(\log n)$ 的数据结构。

看到这句话是不是想到了线段树？

是的！

但是，凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决。

哦，那还是用线段树吧……

然鹅：

• 线段树的数组需要开 $4$ 倍，树状数组只用 $1$ 倍。

• 树状数组代码量少，线段树写 $1$ 题用树状数组可以写 $2$ 题。

• 真不错！

2. $lowbit$

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}\left(\mathrm{x}\right)$ 就是求 $x$ 最低位的 $1$

用 $c$ 数组记录原数组的和：

$c[1]=a[1]\to c[(1{)}_2]=a[(1{)}_2]$

$c[2]=a[2]+a[1]\to c[(10{)}_2]=a[(10{)}_2]+a[(1{)}_2]$

$c[3]=a[3]\to c[(11{)}_2]=a[(11{)}_2]$

$c[4]=a[4]+a[3]+a[2]+a[1]\to c[(100{)}_2]=a[(100{)}_2]+a[(11{)}_2]+a[(10{)}_2]+a[(1{)}_2]$

$c[5]=a[5]\to c[(101{)}_2]=a[(101{)}_2]$

$c[6]=a[6]+a[5]\to c[(110{)}_2]=a[(110{)}_2]+a[(101{)}_2]$

$c[7]=a[7]\to c[(111{)}_2]=a[(111{)}_2]$

更新：

以 $a[1]$ 为例，要更新 $a[1],a[2],a[4]$。

是每次加了二进制的低位 $1$

$1\to 1+1=10\to 10+10=100\to 100+100=1000>111$（停止）

查询：

查询 $\sum _{i=1}^{7}a[i]\to$ 查询 $c[7]+c[6]+c[4]$

是每次去掉了二进制中的低位 $1$

$111\to 111-1=110\to 110-10=100\to 100-100=0$（停止）

$lowbit$ 的实现 :

int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}

我们知道,一个数的负数就等于对这个数取反 $+1$

以二进制数 $11010$ 为例：$11010$ 取反为 $00101$,加 $1$ 后为 $00110$,两者相与便是最低位的 $1$。

3. 一维树状数组

1. 单点修改，区间查询

P3374 【模板】树状数组 1

• 单点修改

由刚才所说可知：

void update(int x, int k) //x 为要更新的数，k 为要加上的值，n 为数组大小
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c[i] += k;
}
}

• 区间查询

其实也就是单点更新的逆操作。

要想求出 $x\sim y$ 相当于 $1\sim y$ 减去 $1\sim x-1$

int query(int x)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
res += c[i];
}
return res;
}
int range_query(int x, int y)
{
return query(y) - query(x - 1);
}

• $ACCode$

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 5;
int n, m, op, x, y;
int c[MAXN];
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void update(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c[i] += k;
}
}
int query(int x)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
res += c[i];
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x;
scanf("%d", &x);
update(i, x);
}
while (m--)
{
scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
if (op == 1)
{
update(x, y);
}
else
{
printf("%dn", query(y) - query(x - 1));
}
}
return 0;
}

2. 区间修改，单点查询

P3368 【模板】树状数组 2

• 区间修改

这里用到了差分的思想

设原数组为 $a$，差分数组 $d[i]=a[i]-a[i-1]$

当给区间 $[l,r]$ 加上 $k$ 时，$a[l]$ 与 $a[l-1]$ 的差增加了 $k$，$a[r+1]$ 与 $a[r]$ 减少了 $k$，故只需将 $d[l]$ 加上 $k$，$a[r+1]$ 减去 $k$ 即可。

void update(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c[i] += k;
}
}
void range_update(int x, int y, int k)
{
update(x, k);
update(y + 1, -k);
}

• $ACCode$

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 5;
int n, m, now, last, op, x, y, k;
int c[MAXN];
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void update(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c[i] += k;
}
}
void range_update(int x, int y, int k)
{
update(x, k);
update(y + 1, -k);
}
int query(int x)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
res += c[i];
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &now);
update(i, now - last);
last = now;
}
while (m--)
{
scanf("%d%d", &op, &x);
if (op == 1)
{
scanf("%d%d", &y, &k);
range_update(x, y, k);
}
else
{
printf("%dn", query(x));
}
}
return 0;
}

3. 区间修改，区间查询

P3372 【模板】线段树 1

位置 $x$ 的前缀和

$\sum _{i=1}^{x}a[i]=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{i}d[j]$

其中，$d[1]$ 被用了 $x$ 次，$d[2]$ 被用了 $x-1$ 次 $\dots \dots$ 那么可以写出：

$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{i}d[j]=\sum _{i=1}^{x}d[i]\cdot (x-i+1)$

$=(x+1)\cdot \sum _{i=1}^{x}d[i]-\sum _{i=1}^{x}d[i]\cdot i$

那么可以维护两个数组的前缀和：

一个数组是 $c1[i]=d[i]$

另一个数组是 $c2[i]=d[i]\cdot i$

• 区间修改

对于 $c1$ 数组的修改同上对 $d$ 数组的修改。

对于 $c2$ 数组的修改也类似，我们给 $c2[l]$ 加上 $l\cdot x$，给 $c2[r+1]$ 减去 $(r+1)\cdot x$。

void update(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c1[i] += k;
c2[i] += k * x;
}
}
void range_update(int x, int y, int k)
{
update(x, k);
update(y + 1, -k);
}

• 区间查询

位置 $x$ 的前缀和即：$(x+1)\cdot t1$ 数组中 $x$ 的前缀和 $-t2$ 数组中 $x$ 的前缀和。

int query(int x)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
res += (x + 1) * c1[i] - c2[i];
}
return res;
}
int range_query(int x, int y)
{
return query(y) - query(x - 1);
}

• $ACCode$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
int n, m, a, last, op, x, y, k;
int c1[MAXN], c2[MAXN];
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void update(int x, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
c1[i] += k;
c2[i] += k * x;
}
}
void range_update(int x, int y, int k)
{
update(x, k);
update(y + 1, -k);
}
int query(int x)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
res += (x + 1) * c1[i] - c2[i];
}
return res;
}
int range_query(int x, int y)
{
return query(y) - query(x - 1);
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%lld", &a);
update(i, a - last);
last = a;
}
while (m--)
{
scanf("%lld%lld%lld", &op, &x, &y);
if (op == 1)
{
scanf("%lld", &k);
range_update(x, y, k);
}
else
{
printf("%lldn", range_query(x, y));
}
}
return 0;
}

4. 二维树状数组

1.单点修改，区间查询

思路跟一维类似，只不过一层循环变两层

• 区间查询

查询时要用到容斥原理

int query(int x, int y)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
{
res += c[i][j];
}
}
return res;
}
int range_query(int a, int b, int c, int d) //左上角 (a,b) 右下角 (c,d)
{
return query(c, d) - query(c, b - 1) - query(a - 1, d) + query(a - 1, b - 1);
}

2. 区间修改，单点查询

需要用到二维差分。

• 区间修改

令差分数组
$d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$

当我们给一个 $5\times 5$ 的矩阵最中间的 $3\times 3$ 的矩阵加上 $k$ 时，差分数组变成了这样：

0
0
0
0
0
0 +k
0
0 -k
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 -k
0
0 +k

这样修改差分数组，原数组就变成了：

0
0
0
0
0
0
k
k
k
0
0
k
k
k
0
0
k
k
k
0
0
0
0
0
0

void update(int x, int y, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
{
c[i][j] += k;
}
}
}
void range_update(int a, int b, int c, int d, int k)
{
update(a, b, k);
update(a, d + 1, -k);
update(c + 1, b, -k);
update(c + 1, d + 1, k);
}

3. 区间修改，区间查询

最最最最$恶心$重要的部分终于来啦！

下面这个式子表示的是点 $(x,y)$ 的二维前缀和：

$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y\sum _{k=1}^i\sum _{h=1}^{j}d[h][k]$

$d[1][1]$ 出现了 $x\cdot y$ 次，$d[1][2]$ 出现了 $x\cdot (y-1)$ 次 $\dots \dots d[h][k]$ 出现了 $(x-h+1)\cdot (y-k+1)$ 次。

原式 $=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}d[i][j]\cdot (x+1-i)\cdot (y+1-j)$

$=(x+1)\cdot (y+1)\cdot \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}d[i][j]-(y+1)\cdot \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}d[i][j]\cdot i-(x+1)\cdot \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}d[i][j]\cdot j+\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}d[i][j]\cdot i\cdot j$

我们要开 $4$ 个 $c$ 数组，分别维护：

$d[i][j],d[i][j]\cdot i,d[i][j]\cdot j,d[i][j]\cdot i\cdot j$

void update(int x, int y, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
{
c1[i][j] += k;
c2[i][j] += k * x;
c3[i][j] += k * y;
c4[i][j] += k * x * y;
}
}
}
void range_update(int a, int b, int c, int d, int k)
{
update(a, b, k);
update(a, d + 1, -k);
update(c + 1, b, -k);
update(c + 1, d + 1, k);
}
int query(int x, int y)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
{
res += (x + 1) * (y + 1) * c1[i][j] - (y + 1) * c2[i][j] - (x + 1) * c3[i][j] + c4[i][j];
}
}
return res;
}
int range_query(int a, int b, int c, int d)
{
return query(c, d) - query(a - 1, d) - query(c, b - 1) + query(a - 1, b - 1);
}

P4514 上帝造题的七分钟

$ACCode$

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 2050;
int n, m;
int c1[MAXN][MAXN], c2[MAXN][MAXN], c3[MAXN][MAXN], c4[MAXN][MAXN];
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void update(int x, int y, int k)
{
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
{
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
{
c1[i][j] += k;
c2[i][j] += y * k;
c3[i][j] += x * k;
c4[i][j] += x * y * k;
}
}
}
void range_update(int a, int b, int c, int d, int k)
{
update(a, b, k);
update(a, d + 1, -k);
update(c + 1, b, -k);
update(c + 1, d + 1, k);
}
int query(int x, int y)
{
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
{
for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
{
res += (x + 1) * (y + 1) * c1[i][j] - (x + 1) * c2[i][j] - (y + 1) * c3[i][j] + c4[i][j];
}
}
return res;
}
int range_query(int a, int b, int c, int d)
{
return query(c, d) - query(a - 1, d) - query(c, b - 1) + query(a - 1, b - 1);
}
int main()
{
getchar();
scanf("%d%d", &n, &m);
char op;
int a, b, c, d, k;
while (~scanf("n%c%d%d%d%d", &op, &a, &b, &c, &d))
{
if (op == 'L')
{
scanf("%d", &k);
range_update(a, b, c, d, k);
}
else
{
printf("%dn", range_query(a, b, c, d));
}
}
return 0;
}

$\mathcal{T}\mathcal{H}\mathcal{E}\mathcal{E}\mathcal{N}\mathcal{D}$

最后

以上就是欢喜白开水为你收集整理的_树状数组_1. 什么是树状数组？2. l o w b i t lowbit lowbit3. 一的全部内容，希望文章能够帮你解决_树状数组_1. 什么是树状数组？2. l o w b i t lowbit lowbit3. 一所遇到的程序开发问题。

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