两行代码生成 格雷码(Gray Code)及其原理简易证明

在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code）

两位元格雷码：00 01 11 10

对应十进制  ：   0   1   3   2

三位元格雷码：000    001   011  010   110   111   101   100

对应十进制  ：   0        1        3      2       6      7       5      4

四位元的格雷码就是： 0000    0001   0011  0010   0110   0111   0101   0100   1100   1101  1111   1110  1010  1011  1001  1000

对应十进制               ：      0            1         3       2        6        7          5         4     12        13     15      14       10     11        9        8

特别注意的是，生成的第一个和最后一个格雷码也是满足条件的----只有一位二进制数不同。

当然，格雷码并不一定非要以0开始，可以从任意处开始，依次往后，到末尾时下一个数就是从上面的标准格雷码起始处再往后，知道任意处的前一个位置，例如两位格雷码标准的 顺序是[0,1,3,2]，当然也可以从元素为3的地方开始，那就是3，2，此时后面没有数了，就从标准格雷码起始处再继续，就是0，1，所以从元素3开始的地方的格雷码为[3,2,0,1]。

n位生成的格雷码数总的个数为2^n个，且这些格雷码数恰好是十进制取值0~2^n - 1，不重不漏。

生成n位标准顺序的格雷码代码如下:

1
2
for(int i=0;i<1<<n;i++)
 graycode[i]=i^(i>>1);

 采用异或的办法可以获得n位标准顺序的格雷码。

证明考虑两个方面：

1.这样生成的任意两个相邻的数字是满足格雷码的定义的,也就是graycode[i]^graycode[i+1]=2^p,

对于graycode[i]所对应的二进制，从右往左第p个位置首次出现0，容易证明：

graycode[i]^graycode[i+1]=i^(i/2)^(i+1)^((i+1)/2)=(i^(i+1))^((i/2)^((i+1)/2))=2^p;

2.这种取法可以不重不漏的取完0~2^n - 1

使用归纳法，n=2,3,4都是成立的，

假设n=k成立，那么n=k+1时候，由假设变量 i 从0~2^k - 1成立，那么只需要考虑 i 从 2^k~2^(k+1) -1 顺序取值，生成的格雷码也是在区间2^k~2^(k+1) -1内的，这里采用穷举法即可证明。

最后

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