简单相关系数的计算

数理相关知识

对于连续无序变量x、y，计算其相关性通常采用皮尔森相关系数，其表达式为
$$\rho =\frac{cov(x,y)}{\sqrt{var(x)var(y)}}=\frac{{\sigma }_{xy}}{\sqrt{{\sigma }_x^2{\sigma }_y^2}}$$
在实际操作中，总体的方差标准差、两个变量间的协方差并不是已知，而是未知，所以通常利用样本的Pearson相关系数：
$$r=\frac{s_{xy}}{\sqrt{s_x^2{s}_y^2}}=\frac{\sum (x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x-\overline{x}{)}^2(y-\overline{y}{)}^2}}$$
其中$s_{xy}$是变量$x$与变量$y$的样本协方差，$s_x^2$是变量$x$的样本方差，$s_y^2$是变量$y$的样本协方差。
在多元统计中（假设有n个系数、p个变量），由于不同变量之间的对比有更多的可能，相关系数就成了一个$n\ast p$的相关系数矩阵，其具体形式如下：
$$r=\left(\begin{array}{cccc}1& {\rho }_{12}& \dots & {\rho }_{1p}\\ {\rho }_{21}& 1& \dots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\rho }_{n1}& {\rho }_{n2}& \dots & 1\end{array}\right)=D^{-\frac{1}{2}}S{D}^{-\frac{1}{2}}$$
其中D为变量的标准差：
$$D=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& 0& \dots & 0\\ 0& {\sigma }_2^2& \dots & 0\\ 0& \dots & \ddots & 0\\ 0& \dots & \dots & {\sigma }_n^2\end{array}\right)$$

代码实现

在利用R语言求相关系数时，通常使用cor函数:

cor(x,y=NULL,method=c(“pearson”, “kendall”, “spearman”)|

其中x为数值向量、矩阵或数据框；y为空或数值向量、矩阵或数据框
method表示三种相关系数的计算方法，从左到右依次是：皮尔森相关系数、kendall秩相关系数、斯皮尔曼相关系数。R语言默认为pearson相关系数，即本文介绍的相关系数。

相关系数的假设检验

数理基础

相关系数与其它统计指标一样，有抽样误差，从同一总体抽取的大小相同的样本，其相关系数也不一定一致，要判断不等于0的r值来自$\rho =0$的总体样本还是$\rho \ne 0$的总体，必须进行显著性检验。对样本相关系数r进行t检验的步骤为：

1. 建立检验假设，$H_0:\rho =0$，$H_1:\rho \ne 0$
2. 计算相关系数r的t值：
   $$t_r=\frac{r-0}{\sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}}}$$
   3.计算t值和p值，解释结果并作出结论。

代码实现

t统计量的计算：

n=length(x1) #计算向量的长度
tr=r/sqrt(1-r^2)/(n-2)) #相关系数假设检验t统计量

cor.test(x,y,alternative=c(“two.sided”,“less”,"greater),
method=c(“pearson”,“kendall”,“spearman”),…)

其中，x、y时长度相同的数据向量，alternative时备择假设，“two.sided”是双侧检验，“greater”是右侧检验，“less”是左侧检验。
method是计算方法。

多元相关系数实验

使用的数据

一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查以下现状。经过10周的时间，手机了该公司每周加班工作时间y（小时）的数据何签发的新保单数目x（张），数据见下表：

(1)绘制散点图，并以此判断x与y之间是否大致呈线性关系。
(2)计算x与y的相关系数并检验¹

代码实现

data=read.table("clipboard",header = T)
plot(data)
#生成的图表示x与y大致呈线性关系
#但是数据太少了，并不可以十分武断
r=cor(data$x,data$y)
#计算x与y的相关系数矩阵
n=length(data$x)
#计算样本的个数
tr=(r-0)/sqrt((1-r^2)/(n-2))
cor.test(data$x,data$y)
#从结果来看，其中p值是小于0.05的，由此拒绝原假设，即总体相关系数并不为0

总结

事实上，样本相关系数的假设检验并不常用。因为大部分的数据值之间的相关系数都难以等于零。

参考文献

[1]王斌会, 多元统计分析及R语言建模[M], 广东：暨南大学出版社, 2019.
[2]hhhhhliu, markdown编辑希腊字母[OB], CSDN, 不想按格式来了你点这个超链接吧.

最后

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