切比雪夫不等式

假设随机变量$X$的期望$mu$和方差$sigma$都存在, 对于任意正数$epsilon > 0$, 都有：

$$P(|x - mu| > epsilon) le frac {sigma^2}{epsilon^2}$$
从不等式本身的意义来看， 它用随机变量的期望与方差给出了长尾概率的范围。例如，对于正态分布 $X sim N(0, sigma)$来说， $x$大于$3sigma$的概率： $P(|x| > 3sigma) le frac 19$，当然， 这个范围给的有点大了。

现在来推导一下这个不等式。需要用到Markov不等式

Markov 不等式

假设$X$是一个不小于0的随机变量， 则：

$$P(X > a ) le frac {E(X)}{a}$$
证明过程如下：

$$E(X) = int^infty_0 xp(x)dx \ = int^a_0 xp(x)dx + int_a^infty xp(x)dx ge int^infty _a xp(x)dx \ ge aint^infty _a p(x)dx = a P(X > a)$$

这个不等式只使用了随机变量的期望就给出了长尾分布的概率范围，但很明显， 太粗放了， 几乎不能提供有用信息。例如，假如人口年龄分布是一个在$[0,80]$之间的均匀分布（只是假如， 不是实际情况），随机锁定一个人， 他的年龄大于1岁的概率$P(X > 1) < 40$，囧。大于40的概率：$P(X > 40) le 1$, 再囧。

进一步就得到了切比雪夫不等式

$$P(|x - mu| > epsilon) = P(|x - mu|^2 > epsilon ^2) le frac {E(|x - mu|^2)}{epsilon^2} = frac{sigma^2}{epsilon^2}$$

最后

以上就是俊秀白昼为你收集整理的切比雪夫不等式切比雪夫不等式Markov 不等式进一步就得到了切比雪夫不等式的全部内容，希望文章能够帮你解决切比雪夫不等式切比雪夫不等式Markov 不等式进一步就得到了切比雪夫不等式所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。