泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间

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我是靠谱客的博主神勇小兔子，最近开发中收集的这篇文章主要介绍泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

证明：设{ $x_{m}$ }是 $l^{infty }$ 中的柯西点列，其中 $x_{m}$ ={ $xi _{1}^{(m)},xi _{2}^{(m)},...$ }

由柯西列的定义：对 $forallvarepsilon >0$ ， $exists$ 正整数N，当n，m>N时，

$d(x_{m},x_{n}) = sup_{j}|xi _{j}^{(m)} - xi _{j}^{(n)}| < varepsilon---------- (1)$

因此，对每一个固定的j，当n,m > N时，成立

$|xi _{j}^{(m)} - xi _{j}^{(n)}| < varepsilon-----------------(2)$

这就是说，数列 $xi _{j}^{(k)}, k = 1,2,...$ 是柯西点列（注意此处是指 $(xi _{j}^{n})_{n=1}^{infty }$ 是R中的Cauchy列），因此，

由R的完备性： $exists$ 数 $xi$ ，使得 $xi _{j}^{(n)}rightarrow xi _{j} (nrightarrow infty )$

令 $x=(xi _{1},xi _{2},...)$ ，下面证明 $xin I^{infty }$ ，且 $x_{m}rightarrow x(mrightarrow infty )$

(注：若对 $forallvarepsilon >0$ ， $exists$ 正整数N，当n，m>N时， $d(x_{m},x_{n})< varepsilon$ )

在（2）式中，令 $nrightarrow infty$ ，可以得到：

对一切m > N，成立 $|xi _{j}^{(m)} - xi _{j}| leqslant varepsilon-----------(3)$ （因为有了极限才可以取极限）

又 $because$ $x_{m}=(xi _{1}^{(m)},xi _{2}^{(m)},...)$ ，因此 $exists$ 实数 $K_{m}$ ，使得对于所有j，成立 $|xi _{j}^{(m)}|leqslant K_{m}$

因此， $|xi _{j}|leqslant |xi _{j} - xi _{j}^{(m)}|+|xi _{j}^{(m)}|leqslant xi + K_{m}$

这就证明了 $xin I^{infty }$ (有界)，由（3）式，可知对一切的m > N，成立：

$d(x_{m},x) = sup_{j}|xi _{j}^{(m)} - xi _{j}| leq varepsilon$

$therefore$ $x_{m}rightarrow x(mrightarrow infty )$ 因此 $l^{infty }$ 是完备度量空间，证毕。

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