【数字逻辑】学习笔记 第二章 数制和编码

一、进位计数制

1. 概念

采用若干位 数码 进行计数，并规定 进位规则 的科学计数法称为 进位计数制 ， 简称数制。数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素。

数制的要素：

• 数码 ： 表示基本 数值大小 的不同 数字符号；基数：数码的个数；位权：每个位置上单位数码代表的数值。
• 进位规则 ： 逢几进一，借一当几。

十进制数：

• 数码 ： $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
• 基数 ： 10 （数码的个数）
• 进位规则 ：逢十进一，借一当十
• 位权 ：每个位置代表的数值大小，$10^i$。

其中:
$n$ 为整数位数, $m$ 为小数位数
$a_i$ 为 为$0,1,\dots ,9$

$e.g.$ $(563.48{)}_{10}＝5\times 10^2＋6\times 10^1＋3\times 10^0＋4\times 10^{-1}＋8\times 10^{-2}$

2. 数字系统中的常用数制

二进制；八进制；十六进制。

数字系统内的数是以器件的 物理状态 来表示的，二进制数只需要 两种不同状态 即可表示， 因此数字系统采用二进制数。

书写时， 二进制数往往很长；为了书写方便，常采用八进制或十六进制数。

二进制的规则如下：

八进制的规则如下：
十六进制规则如下：

二、进制转换

1. R进制转换成十进制

• 数码: 基本符号$0,1,2,...,(R-1)$
• 基数: $R$
• 位权: $R_i$
• 运算规则 ：逢$R$进一 ， 借一当$R$。

将 $R$ 进制数 按位权展开， 再按十进制进行计算， 即得到对应的十进制数。

$e.g.$

• $(53.62{)}_7＝5\times 7^1＋3\times 7^0＋6\times 7^{-1}＋2\times 7^{-2}＝(38.898{)}_{10}$
• $(24.3{)}_5＝2\times 5^1＋4\times 5^0＋3\times 5^{-1}＝(14.6{)}^{10}$

2. 十进制转换成R进制

整数部分：连续除基取余倒排法，商零为止。

$e.g.$ $(25{)}_{10}=(11001{)}_2$，过程如下：

$e.g.$ $(54{)}_{10}=(36{)}_{16}$，过程如下：

小数部分：连续乘基取整正排法：乘基取整 ， 直至满足精度要求或乘积小数部分为 $0$。

$e.g.$ $(0.93{)}_{10}=(0.11101{)}_2$

总结：
整数部分转换： 除以基数R 取余数

• 整数部分除以基数R， 余数作为等值的R进制数最低位；
• 将商再除以R，余数作为等值的R进制数的次低位；
• 重复步骤2，直到商等于零为止。

小数部分转换： 乘以基数R 取整数

• 小数部分乘以基数R，积的整数部分为R进制数的最高位；
• 将小数部分再乘以基数R，其积的整数部分为次高位；
• 重复步骤2，直到达到要求的精度为止。

3. 二进制与八进制、十六进制之间的转换

这个转换特别一点，不是很麻烦的通过十进制进行转换，而是直接写：

十六进制转换成二进制：

二进制转换为十六进制：

二进制转换为八进制数： 从小数点起每三位分一组，不足三位补零。
$e.g.$ $(11010101.01011{)}_2=(011010101.010110{)}_2=(325.26{)}_8$
$e.g.$ $(111001010.100101{)}_2=(111001010.100101{)}_2=(712.45{)}_8$

八进制数转换为二进制数：将每一位八进制数位表示成三位二进制数。
$e.g.$ $(325.26{)}_8=(011010101.010110{)}_2=(11010101.01011{)}_2$
$e.g.$ $(712.45{)}_8=(111001010.100101{)}_2$

从这里可以看出，八进制和十六进制不是计算机中真实使用的进制，它的目的在于缩减二进制数的长度，方便给人看。

三、带符号二进制数的代码表示

1. 无符号二进制数

特点：无符号位。$A_{n-1}{A}_{n-2}...A_1{A}_0$表示范围$[0,2^n-1]$。

2. 有符号二进制数

原码：最高位为符号位，$0$ 表示 正数，$1$ 表示 负数，数值位就是自然二级制码。

• 正数 [+18]_原 = 0 10010
• 负数 [- 18]_原 = 1 10010
• [+0]_原 = 0 0000000
• [- 0]_原 = 1 0000000
• [+1]_原 = 0 0000001
• [- 0]_原 = 1 0000001
• [+127]_原 = 0 1111111
• [- 127]_原 = 1 1111111

反码 ：正数的反码与原码相同，符号位为0；负数的反码为 原码按位取反 ( 数值部分)，符号位为1。

• 正数 [+18]_反 = 0 10010

• 负数 [- 18]_反 = 1 01101

• [+0]_反 = 0 0000000

• [- 0]_反= 1 1111111

• [+1]_反 = 0 0000001 [- 1] 反
  = 1 1111110
  [+127] 反 = 0 1111111 [- 127] 反 = 1 0000000
  补码 ：正数的补码与原码相同；负数的补码为 反码＋1 ( 数值部分)，符号位为1。

• 正数 [+18]_补 = 0 10010

• 负数 [- 18]_补 = 1 01110

四、几种常用的编码

一. 十进制数的二进制编码(BCD码)

用 $4$ 位二进制代码对十进制数字符号进行编码 ， 简称为二 – 十进制代码 ， 或称$BCD(BinaryCodedDecimal)$ 码。

根据代码中每一位是否有固定的权 ， 通常将 BCD 码分为有权码 和 无权码 两种类型 。BCD 码既有二进制的形式， 又有十进制的特点 。 常用的 BCD 码有 8421 码、 2421 码和 余3码 。

1. 8421 码

用 4 位二进制码 表示 一 位十进制字符的一种有权码，4 位二进制码从高位至低位的权依次为$2^3$、$2^2$ 、$2^1$ 、$2^0$ ， 故称为 8421 码。8421 码中不允许出现 1010 ～ 1111 六 种组合 ( 因为没有十进制数字符号与其对应) 。

8421 码与十进制数之间的转换 $\ne$ 二进制数和十进制数的转换，8421码与十进制数之间的转换是按位进行的 ， 即十进制数的每一位与4 位二进制编码对应 。

$e.g.$ $(258{)}_{10}=(001001011000{)}_{8421码}$
$e.g.$ $(28{)}_{10}=(11100{)}_2=(00101000{)}_{8421码}$

2. 2421码

是用 4 位二进制码 表示 一 位十进制字符的一种有权码 ，4 位二进制码从高位至低位的权依次为2，4，2，1， 故称为 2421 码 。若 一个十进制字符 $X$ 的 2421 码为 $a_3{a}_2{a}_1{a}_0$ ， 则该字符的 值为：$X=2a_3+4a_2+2a_1+1a_0$

2421 码与十进制数之间的转换同样是按位进行的 ， 例如：

$e.g.$ $(258{)}_{10}=(001010111110{)}_{2421码}$
$e.g.$ $(0010000111101011{)}_{2421码}=(2185{)}_{10}$

(1) 2421码不具备单值性 。 例如， 0101 和 1011 都对应十进制数字5。 为了与十进制字符一一对应 ， 2421 码不允许出现
0101 ～ 1010的 6 种状态 。

(2) 2421码是一种对9的自补代码 。 即一个数的 2421 码只要自身按位变反，便可得到该数对9的补数的 2421 码 。具有 这一特征的 BCD 码可给运算带来方便 ， 因为直接对 BCD 码进行运算时 ， 可利用其对9 的补数将减法运算转化为加法运算。

$e.g.$ $(4{)}_{10}=(0100{)}_{2421}=>(1011{)}_{2421}=(5{)}_{10}$

二、可靠性编码

作用： 减少 或者 发现 代码在形成和传送过程中可能发生的错误，提高系统的可靠性。

1. 格雷 (Gray) 码

特点： 任意两个相邻的数， 其格雷码仅有一位不同。

2. 奇偶校验码

是 一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码。
(1) 组成：

信息位——位数不限的一组二进制代码
奇偶检验位——仅有一位

(2) 编码 方式：有两种编码 方式
奇 检验： 使信息位和检验位中 $1$ 的个数共计为奇数 ；
偶 检验： 使信息位和检验位中 $1$ 的个数共计为偶数 。

三、字符编码

ASCII码（美国信息交换标准码）用 7 位二进制数编码 128 个字符， 包括大 、小写字母， 数字 0 到 9，标点符号， 以及在美式英语中使用的特殊控制字符等。

最后

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