【线代】矩阵转置性质及代码证明

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我是靠谱客的博主大力黑猫，这篇文章主要介绍【线代】矩阵转置性质及代码证明，现在分享给大家，希望可以做个参考。

矩阵转置的定义

定义： 把矩阵A的行换成同序列数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 $A^T$

矩阵转置的性质

$A^T)^T=A$

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import numpy as np
A = np.random.randint(0, 100, [3, 3])
print((A.T).T == A)
[OUT]:
[[ True  True  True]
 [ True  True  True]
 [ True  True  True]]

$A+B)^T=A^T+B^T$

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import numpy as np
A = np.random.randint(0, 100, [3, 3])
B = np.random.randint(0, 100, [3, 3])
print((A+B).T==A.T+B.T)
[OUT]:
[[ True  True  True]
 [ True  True  True]
 [ True  True  True]]

$A)^T=lambda A^T$

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import numpy as np
A = np.random.randint(0, 100, [3, 3])
lambda_ = 3.14
print((lambda_*A).T == lambda_*A.T)
[OUT]:
[[ True  True  True]
 [ True  True  True]
 [ True  True  True]]

$AB)^T=B^TA^T$

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import numpy as np
A = np.random.randint(0, 100, [2, 4])
B = np.random.randint(0, 100, [4, 2])
print((A@B).T == B.T@A.T)
[OUT]:
[[ True  True]
 [ True  True]]

若方阵A满足 $A^T=A$ ，则称A为对称矩阵。 $A=(a_{ij})_n$ 为对称矩阵的充要条件是 $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,cdots,n)$

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import numpy as np


def symmetric(shape):
    matrix = np.triu(np.random.randint(0, 100, shape))
    matrix += matrix.T-np.diag(matrix.diagonal())
    return matrix


A = symmetric([3, 3])
print(A.T == A)
[OUT]:
[[ True  True  True]
 [ True  True  True]
 [ True  True  True]]