机器学习之线性代数基础二向量内积、平面表达式的几何意义

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我是靠谱客的博主朴素台灯，最近开发中收集的这篇文章主要介绍机器学习之线性代数基础二向量内积、平面表达式的几何意义，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

1. 向量内积

向量内积除了我们常用的坐标表示的计算方法之外，还有另外一种不太常见用向量的二范数计算的方法。假设有向量 $u, v$ 之间的夹角为 $θ$ ，那么 $vec{u}^{T}v=||vec{u}||||vec{v}||cos(theta)$ 继续变换一下，
$vec{u}^{T}v=||vec{u}|| (||vec{v}||cos(theta))=||vec{v}|| (||vec{u}||cos(theta))$ 其中 $∣ ∣ v ∣ ∣ c o s (θ)$ 的几何意义是向量 $v$ 在向量 $u$ 上的投影，那么我们可以知道向量内积的几何意义就是：向量 $u$ ( $v$ )的二范数与向量 $v$ ( $u$ )在向量 $u$ ( $v$ )上的投影的乘积

2. 平面表达式

知道了向量内积的几何意义，平面表达式的几何意义就容易理解的多。我们用 $w$ 表示平面的法向量， $x$ 表示直线上的点所表示的向量（从原点出发）。
我们先看一个没有偏置的表面表达式如下 $vec{w}^{T}vec{x}=0$ 其中，此时， $x$ 在法向量 $w$ 的投影为零，显然 $x$ 是垂直于法向量 $w$ 的。此时直线是过原点垂直于法向量的。
有偏置的情况就是， $x$ 并不垂直于 $w$ ，但是** $x$ 在 $w$ 上的投影是恒定的**，即 $vec{w}^{T}vec{x}=-b$ 此时直线不过原点，但必然是垂直于法向量的。