正交矩阵与正交变换

前置性质 1　$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。

证明见 “矩阵的运算规则”。

前置性质 2　$|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$。

证明见 “矩阵的运算规则”。

定义 1（正交矩阵）　如果 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 满足
$${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}（即{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T）\text{\hspace{1em}(1)}$$
那么称 $\mathbf{A}$ 为 正交矩阵，简称 正交阵。

性质 1　方阵 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的列向量都是单位向量，且两两正交。

证明　将式 $(1)$ 用 $\mathbf{A}$ 的列向量表示，即是
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1^T\\ {\mathbf{a}}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_n^T\end{array}\right)({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n \\ )=\mathbf{E} \end{gathered}$$
也就是 $n^2$ 个关系式
$${\mathbf{a}}_i^T{\mathbf{a}}_j=\{\begin{array}{l}1,当i=j\\ 0,当i\ne j\end{array}(i,j=1,2,\cdots ,n)$$
即 $\mathbf{A}$ 的列向量都是单位向量，且两两正交。

性质 2　方阵 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的行向量都是单位向量，且两两正交。

证明　因为 $(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T{)}^T={\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，所以 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T=\mathbf{E}$。类似性质 1 可证性质 1 对于行向量仍然成立。

由此可见，$n$ 阶正交矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个列（行）向量是构成向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个标准正交基。

性质 3　若 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵，则 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T$ 也是正交矩阵。

证明　因为 $(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T{)}^T={\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，所以 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T=\mathbf{E}$，从而 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T$ 也是正交矩阵。

性质 4　若 $\mathbf{A}$ 为正交矩阵，则 $|\mathbf{A}|=1$ 或 $-1$。

证明　因为 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{E}$，所以 $|{\mathbf{A}}^T\mathbf{A}|=|\mathbf{E}|$；根据前置性质 1，有 $|{\mathbf{A}}^T||\mathbf{A}|=|\mathbf{E}|$；根据前置性质 2，有 $|\mathbf{A}{|}^2=|\mathbf{E}|=1$，从而有 $|\mathbf{A}|=1$ 或 $-1$。得证。

性质 5　若 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 都是正交矩阵，则 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 也是正交矩阵。

证明　因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是正交矩阵，所以有 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^T$ 和 ${\mathbf{B}}^{-1}={\mathbf{B}}^T$。根据两式，有
$$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T=(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T$$
因此 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 是正交矩阵。得证。

定义 2（正交变换）　若 $\mathbf{P}$ 为正交矩阵，则线性变换 $\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{x}$ 称为 正交变换。

性质 6　设 $\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{x}$ 为正交变换，则有 $||\mathbf{y}||=||\mathbf{x}||$。

证明　$||\mathbf{y}||=\sqrt{{\mathbf{y}}^T\mathbf{y}}=\sqrt{{\mathbf{x}}^T{\mathbf{P}}^T\mathbf{P}\mathbf{x}}=\sqrt{{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}}=||\mathbf{x}||$。得证。

由于 $||\mathbf{x}||$ 表示向量的长度，相当于线段的长度，因此 $||\mathbf{y}||=||\mathbf{x}||$ 说明经正交变换线段长度保持不变。

最后

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