非退化是什么意思？

首先且最重要的，非退化在不同的语境下有不同的含义，可以“非退化的矩阵”，“非退化线性变换”，“非退化的双线性函数”等等等等，但是！他们的本质是相同的——都是对“线性无关”的刻画。

下面给出在一些情况下的定义

什么是非退化矩阵？

即行列式不为零，即矩阵可逆

什么是非退化线性替换？

对于一个线性变换
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ ⋮\\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}\iff X=CY$$
该线性变换非退化，即系数矩阵C非退化

非退化线性替换有什么性质？

保持二次型的形式，比如$f(x_1,...,x_n)=X^{\prime }AX=\sum _{i,j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$为二次型，使用$X=CY$，得
$X^{\prime }AX=(CY{)}^{\prime }A(CY)=Y^{\prime }(C^{\prime }AC)Y=Y^{\prime }BY，其中$$B^{\prime }=(C^{\prime }AC{)}^{\prime }=C^{\prime }{A}^{\prime }C=C^{\prime }AC=B$，即B对称
即$Y^{\prime }BY$这个用y所表示的“算式？”也是一个二次型。

什么是非退化的双线性函数？

即其度量矩阵是非退化的

非退化双线性函数有什么性质？

• 若$f$为非退化双线性函数，且$f(\alpha ,\beta )=0$对任意的$\beta \in V$均成立，则$\alpha =0$。能否简述原因？

  取V的基${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$，考虑$f(\alpha ,{\beta }_i)=X^{\prime }A{Y}_i=0$。
  把这些$Y_i$并在一起，与A相乘仍然为可逆阵。
  等式两边同时乘上他们的逆，就ok啦~
  注：这条也是另一种定义“非退化双线性函数”的方式

参考：
纸质版《高等代数》 第五版5版 王萼芳 北京大学数学系代数 高等教育出版社

最后

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