8.2 矩阵的合同不同基下的度量矩阵矩阵的合同

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我是靠谱客的博主小巧向日葵，最近开发中收集的这篇文章主要介绍8.2 矩阵的合同不同基下的度量矩阵矩阵的合同，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

不同基下的度量矩阵

前面讲了双线性函数和内积都可以用矩阵来表示，但是对于不同的基下，内积的度量矩阵是不同的，这个时候怎么计算呢？举个例子，以下是双线性函数的度量矩阵：
$2\ -1 & 3 & 4\ -2 & -3 & 1 end{pmatrix}$
这个双线性函数在以下这组基下的矩阵是什么呢？
$epsilon_1=begin{pmatrix}1 \ 0\ 0end{pmatrix},epsilon_2=begin{pmatrix}1 \ 1\ 0end{pmatrix},epsilon_3=begin{pmatrix}1 \ 1\ 1end{pmatrix}$
我们先按照度量矩阵的定义来呗。这个结果就是：
$epsilon_1^TAepsilon_1 & epsilon_1^TAepsilon_2 & epsilon_1^TAepsilon_3\ epsilon_2^TAepsilon_1 & epsilon_2^TAepsilon_2 & epsilon_2^TAepsilon_3\ epsilon_3^TAepsilon_1 & epsilon_3^TAepsilon_2 & epsilon_3^TAepsilon_3 end{pmatrix}\ =begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & \ 0 & 6 & 12 \ -2 & 1 & 8 \ end{pmatrix}$

矩阵的合同

但是这样计算也太麻烦了吧。其实这样计算就可以了：
$1\ 0 & 1 & 1\ 0 & 0 & 1\ end{pmatrix}^Tbegin{pmatrix}1 & 3 & 2\ -1 & 3 & 4\ -2 & -3 & 1\ end{pmatrix}begin{pmatrix}1 & 1 & 1\ 0 & 1 & 1\ 0 & 0 & 1\ end{pmatrix}\=begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \ 0 & 6 & 12 \ -2 & 1 & 8 \ end{pmatrix}$
这个时候，内积在两个基下的度量矩阵呈现这个关系：
$B=P^TAP$
这个时候矩阵 $A, B$ 的关系就叫做合同Congruent。