实现PD控制

尝试为场加入PD控制

在之前的模拟中，需要最小化一个能量函数H。

这样做的原因是，由理想约束的特性（约束反力垂直于虚位移），对于不含体积蒙皮的情况，可以推出

对于表面点，有

J^T * Σfs = 0

对于内部点，有

Σfn = 0

而对于体积蒙皮的情况，

对于表面点，仍有

J^T * Σfs = 0

对于内部点，有

J^T * W^T * fn = 0

其中W为蒙皮权重矩阵

综合两种情况，可以发现，这些力平衡情况都同H函数对内部点n、对参数p的导数等于零是等价的。

不含体积蒙皮的情况，dH/dp =  J^T * Σfs

含体积蒙皮的情况，  dH/dp = J^T * (Σfs + W^T * Σfn)

等式后一项有一个专门的名称，叫广义力，实际上就是普通力在参数空间的投影

现在控制的方法十分简单，就是加一项广义控制力fc

fc = kp*(p' - p) + kd*(dp'/dt - dp/dt), 其中p'是期望的参数值，p为实际参数值，kp，kd为控制增益，都为对角矩阵

于是新的总广义力为

dH1/dp = dH/dp + fc

H1     = H     + fc^T * p

现时有两种施加控制的方法，一种是在每一帧求解之前预先算出控制力，且在求解过程中保持控制力不变，称为显式控制；另一种是把控制力表示成求解状态的函数，在求解过程中不断更新，称为隐式控制。

隐式控制的稳定性比显式控制好。

使用隐式控制时，令

dp/dt = (pn+1-pn)/h，其中pn+1是待求解的本帧参数值，pn为上一帧参数值

需要求出fc对位置的导数

dfc/dpn+1 = -(kp + kd/h)

把这一项加入Hessian的计算即可

以下是当前对一条棍子的控制结果

目标控制曲线如下：

实际控制曲线如下。曲线逐渐变形的原因是控制增益被逐步降低了。

来自为知笔记(Wiz)

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