四、稳定的定义与代数稳定判据

4.1  稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件

• 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行和工作的首要条件。控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
• 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。
• 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
• 其他：一个反馈条件要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。具有绝对稳定性的系统称为稳定系统；若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。

4.2  稳定的基本概念

定义1：系统处于某一起始的平衡状态。在外界扰动作用的影响下，偏离了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间，这个系统还能恢复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。

不稳定的例子：

1.  演播室音响系统的扬声器与麦克风之间的距离越近，回音越大，近到一定程度，啸叫盖过音响；（类似的现象还有电话机、电脑的麦克风等等）；

稳定性反映在干扰消除之后过渡过程的性质上，系统与平衡状态的偏差可以认为是系统的初始偏差。

定义2：若控制系统在足够小的初始偏差作用下，其过渡过程的偏差随时间的推移逐渐趋于零，也即系统具有恢复原来平衡状态的能力，则称系统是稳定的；否则不稳定。

判断方法：判断传递函数的所有极点是否均位于左半平面，或等价地，判断系统矩阵的特征值是否均位于左半平面。若所有极点（或特征值）均位于左半平面，就可以进一步通过极点（或特征值）的相对位置来判断相对稳定性。

注意事项：

1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；

A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无关）；

B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到一定范围后，系统不再稳定。

2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛还是发散。

4.3  系统稳定的充要条件

        设系统或环节的微分方程为：

 式中：——输入，——输出，；为常系数。

        将上式求拉式变换，得：

        即有： 

        扰动信号的作用相当于对系统的一个脉冲响应信号，系统的输出增量（偏差值）即是脉冲输入的响应。

        对于具有以上传递函数的控制系统来说，脉冲输入的拉式变换为1，即，所以系统输出增量的拉式变换为：
                                            
 

线性系统稳定的充要条件：

        系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于左半平面。

• 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡；
• 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长。

上述两种情况下系统是不稳定的。

• 如果特征方程中有一个实根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
• 如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。

        从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。

注意：

        稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。

        1.对于一阶系统：

                                                                                              ，

        只要都大于零，系统就是稳定的。

        2.对于二阶系统：

                                                                                    ，

        只有都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）。

        对于三阶或以上系统，求根是很繁琐的。于是就有了以下的代数稳定性判据。

4.4  代数稳定性判据

4.4.1   劳斯稳定性判据

        设线性系统的闭环特征方程为：

                                                                
        则该系统稳定的条件为：
              a.特征方程的各项系数都不等于零；

              b.特征方程的各项系数的符号都相同。

        此两项为必要条件。

        例如：

        充分条件：由特征方程系数组成的劳斯排列阵的第一列的所有项均为正。
        充要条件：对于稳定系统而言，劳斯排列阵的第一列中，应该没有符号变化。

        这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数的完整阵列呈现一个倒三角形。 

注意：

        为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行，并不改变稳定性结论。

劳斯稳定判据：

        劳斯稳定判据是很根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在平面上的具体分布，过程如下：

•  如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在的左半平面，相应的系统是稳定的。
•  如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。

具体劳斯-赫尔维茨稳定性判据链接可以参考如下链接：https://wenku.baidu.com/view/e5fb484f6ad97f192279168884868762cbaebb17.html

最后

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