传递函数建立状态空间表达式

对于一个控制系统的传递函数为
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1{s}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}s+b_n}{s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}\text{\hspace{1em}(1)}$$

为了将传递函数转化为系统的状态空间表达式

1.直接法

由式子（1）可直接得到如下的系统状态空间表达式。

能控标准型：

$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 1\\ -a_n& -a_{n-1}& \cdots & -a_1\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{l}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u\\ \\ y=\mathbf{C}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{llll}{b}_n& b_{n-1}& \cdots & b_1\end{array}\right]\mathbf{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

能观标准型：

$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_n\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{l}{b}_n\\ b_{n-1}\\ ⋮\\ b_2\\ b_1\end{array}\right]u\\ \\ y=\mathbf{C}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{llll}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]\mathbf{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

注意点

1. 在上述能控标准型和能观标准型中，注意A 、B和C中的元素与传递函数分子、分母之间的关系；
2. 在写能控（能观）标准型之前，应注意传递函数中分母多项式的最高次项系数是否为1，若不为1，则需要用它去除传递函数的分子和分母，将该系数化为1；
3. 传递函数需要为严格的真有理分式。

2.并联分解法

• 按照极点，把传递函数展开成部分分式也是状态空间表达常用的方法。
• 这样的状态空间描述与控制系统的极点直接建立了联系，因此也称之为状态空间的规范型。

（1）系统传递函数的极点都不同
那么式（1）可展现成部分分式的形式：

$$G(s)=\frac{c_1}{s-p_1}+\frac{c_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{c_n}{s-p_n}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中
$$c_i=\underset{t\to p_i}{\lim }\left(s-p_i\right)G(s),i=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(5)}$$
可得系统状态空间表达式
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& p_2& & ⋮\\ ⋮& & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& p_n\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u\\ \\ y=\left[\begin{array}{llll}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]x\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
（2）系统传递函数的极点有相同

• 系统传递函数的极点有相同，即传递函数有重极点

此时式（1）可以展开成下面的形式（7）
$$\begin{array}{rlr}g(s)=& \frac{c_{11}}{{\left(s-p_1\right)}^r}+\frac{c_{12}}{{\left(s-p_1\right)}^{r-1}}+\cdots +\frac{c_{1r}}{\left(s-p_1\right)}& +\frac{c_{r+1}}{\left(s-p_{r+1}\right)}+\cdots +\frac{c_n}{\left(s-p_n\right)}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中单极点 $p_i$ 对应的系数 $c_i(i=r+1,\cdots ,n)$ 仍按照式 (5) 计算, 而 $r$ 重极点 $p_1$ 对应的系数 $c_{ij}(j=1,2,\cdots ,r)$ 则按式 (8) 计算:
c 1 j = 1 ( j − 1 ) ! lim ⁡ t → p 1 d j − 1 d s j − 1 { ( s − p 1 ) r g ( s ) } , j = 1 , 2 , ⋯   , r (8) c_{1 j}=frac{1}{(j-1) !} lim _{t rightarrow p_1} frac{mathrm{d}^{j-1}}{mathrm{d} s^{j-1}}left{left(s-p_1right)^r g(s)right}, quad j=1,2, cdots, r tag{8} c1j​=(j−1)!1​t→p1​lim​dsj−1dj−1​{(s−p1​)rg(s)},j=1,2,⋯,r(8)
可得系统状态空间表达式为:
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_r\\ {\dot{x}}_{r+1}\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{p}_1& 1& & 0& & & \\ & p_1& \ddots & ⋮& & 0& \\ & & \ddots & 1& & & \\ 0& 0& \cdots & p_1& & & \\ & & & & p_{r+1}& & \\ & 0& & & & \ddots & \\ & & & & & & p_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_r\\ x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u\text{\hspace{1em}(9)}$$
$$y=\left[\begin{array}{lllllll}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1r}& c_{r+1}& \cdots & c_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_r\\ x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
可以看出, 状态空间表达式中, $\mathbf{A}$ 矩阵具有约当型, 因此又称为约当标准型。

3.串联分解法

串联分解适用于传递函数已被分解为因式相乘的形式：
$$g(s)=\frac{b_1\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right)\cdots \left(s-z_n-1\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)\cdots \left(s-p_n\right)}\text{\hspace{1em}(11)}$$
现以一个三阶系统传递函数为例予以说明。设
$$\begin{array}{rl}g(s)& =\frac{Y(s)}{U(s)}\\ & =\frac{b_1\left(s-z_2\right)\left(s-z_3\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)\left(s-p_3\right)}\\ & =\frac{b_1}{\left(s-p_1\right)}\times \frac{\left(s-z_2\right)}{\left(s-p_2\right)}\times \frac{\left(s-z_3\right)}{\left(s-p_3\right)}\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
显然,这个系统可以看作为三个一阶系统串联而成,其模拟结构如图所示

若指定图中每个积分器的输出为状态变量, 可得系统状态空间表达式为
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{p}_1& 0& 0\\ 1& p_2& 0\\ 1& p_2-z_2& p_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right]u\\ y& =\left[\begin{array}{lll}1& p_2-z_2& p_3-z_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

总结

1. 直接法需要传递函数需要为严格的真有理分式
2. 并联分解法是按照极点，把传递函数展开成部分分式也是状态空间表达常用的方法
3. 串联分解适用于传递函数已被分解为因式相乘的形式

最后

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