2. 不同数制之间的转换

2.1. 十进制和二进制之间的转换

• 方法一：除2取余法
• 方法二：这个方法非常快捷，它的思路来源于二进制转化十进制的过程：
  比如说有一个二进制数$(k_n{k}_{n-1}\cdots k_0.k_{-1}{k}_{-2}\cdots k_{-m}{)}_2$ 那么，它转化为十进制数的方式如下：$$k_n\ast 2^n+k_{n-1}\ast 2^{n-1}+\cdots +k_0\ast 1+k_{-1}\ast 2^{-1}+k_{-2}\ast 2^{-2}+\cdots +k_{-m}\ast 2^{-m}$$
  对于这个式子，反过来，如果我们想要把十进制转化为二进制，就是要确定这些$k_n,k_{n-1},\cdots k_0,k_{-1},k_{-2},\cdots k_{-m}$
  因此，我们下面举一个例子，加入要转化为八位二进制的十进制数是83
  $step1$：先将二进制数八位的权重都写出来，如下：$$1286432168421$$
  $step2$：现在，我们要做的就是找到权重里面比83小的最大整数，OK，是64对吧，因此我们可以确定这个位置应该是1，我们做下标记：$$\begin{gathered} 1286432168421 \\ 01 \end{gathered}$$
  $step3$：用83 - 64，得到19，同样的，在剩余的权值里面找到比19小的最大整数，是16，因此，16对应的位置应该也是1，继续标记：$$\begin{gathered} 1286432168421 \\ 0101 \end{gathered}$$
  $step4$：重复上述步骤，最终我们得到的二进制数就是：$$01010011$$

2.2.二进制转八进制/十六进制

对于二进制转八进制而言，我们先把二进制数的整数部分从右到左，小数部分从左到右，每三位二进制数为一组划分(整数部分最高位一组不足3个时用0补，小数部分最低为不足3为时用0补)，然后，分别对于每一组二进制数，直接把它们转化为十进制数即可

下面举一个例子：将$(011110.010111{)}_2$转化为八进制数
$step1$：先分组$$011110.010111$$
$step2$：接着，对于每一组，求出它们表示的十进制数即可，例如011那组表示的十进制数就是：$0\ast 2^2+1\ast 2^1+1\ast 2^0=3$
因此，最终求出来的数字就是36.27

二进制转十六进制和二进制转八进制的方法一样，只不过这一次的分组是4位二进制数位一组

2.3.八进制/十六进制转二进制

这个其实也不难，先拿八进制转二进制来讲，一位八进制数对应转化为三位二进制数，举一个例子，将八进制数：$(52.43{)}_8$转化位二进制数
$step1$：将八进制数的每一位转化为二进制数（直接用十进制转二进制的方法即可）
比如5转化为：$(101{)}_2$，2转化为$(010{)}_2$，4转化为$(100{)}_2$，3转化为$(011{)}_2$
那么，最后得到的二进制数就是：$(101010.100011{)}_2$

十六进制转二进制方法一样，只不过一位十六进制数对应转化为4为二进制数而已

2.4 二进制数转8421BCD码

8421BCD码是一种有权码，四位二进制数xxxx，从高位到低位的权重依次是8，4，2，1
那么，二进制数怎么转8421BCD码呢？
我们可以先将二进制数转成十进制数，在把十进制数的每一个位转成对应的8421BCD码
例子：将$(1101.1{)}_2$转成8421BCD码：
首先将1101.2转成十进制：是$(13.5{)}_{10}$，那么我们就看13.5每一位对应的8421BCD码是啥：
1的8421码是0001，3的8421码是0011，5的8421码是0101，那么最终转化为8421BCD码就是：
$(00010011.0101{)}_2$

3. 二进制数的计算

3.1.加减乘除

这部分难度不大，它和十进制数的加减乘除非常类似，只不过二进制数的计算是逢2进1

3.2.反码和补码

二进制中，我们通常在二进制数的前面增加一个符号位来表达二进制数的正负，0表示正，1表示负

3.2.1反码，补码的求法

对于一个正的二进制数来说，它的原码 = 反码 = 补码
而对于负的二进制数，反码求法：符号位不变，数值位按取反
举个例子，对于二进制数：10011010，它的反码就是：11100101

对于负的二进制数，补码求法：反码+1（符号位不变）
还是刚刚的例子，它的补码位：11100110

3.2.2.关于符号的问题

当两个补码相加时，结果的符号位等于：原来加数的符号位之和 + 来自最高为有效数字的进位
我们来看个例子：1. 用二进制补码计算：13 - 10
$step1$：13的补码为：00001101，-10的补码为11110110
$step2$：相加： ( 0 ) 0 0 0 1 1 0 1 ( 1 ) 1 1 1 0 1 1 0 < 1 > { 1 } 0 0 0 0 0 1 1 begin{array}{cccccccc} (0) && 0 & 0 & 0 &1 & 1 & 0 & 1\ (1) && 1&1 & 1 &0&1&1&0\ hline <1>& {1}&0&0&0&0&0&1&1 end{array} (0)(1)<1>​{1}​010​010​010​100​110​011​101​​
其中，<1>表示原来两个补码符号位的和，{1}表示来自最高为有效数字的进位
因此，两个补码加和结果的符号位就是1 + 1 = 0，也就是正数

3.2.3.补码的意义

两个原码相减还是挺麻烦的，要比较两数的绝对值大小，选出大的那个当作被减数，再相减
而引入反码和补码，就是为了使用加法代替上述过程的减法

最后

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