无界背包经典题目

最少的硬币数目(零钱兑换)

描述：给定一个无重复数组nums，求构成目标数target使用最少的数字个数。数组中数字可以重复使用。

因为数字可以重复使用，不再是0-1背包问题，而是无界背包问题（也叫完全背包）。

分析：定义 $F(i)$ 表示组成目标值 $i$ 所需要的最少数字数量, 那么 $F(i)$ 对应的状态转移方程为:
$$F(i)=\underset{j=0..n-1}{\min }F\left(i-c_j\right)+1$$
其中 $c_j$ 表示下标为 $j$ 的数字的值. 目标值 $i$ 需要从状态 $F(i-c_j)$ 转移过来, 再算上选取值 $c_j$ 数量1的贡献. 由于要取最小值, 所以 $F(i)$ 为前面能转移过来的状态的最小值加上数量1.

   public int coinChange(int[] coins, int amount) {
      int max = amount + 1;
      int[] dp = new int[amount + 1];
      Arrays.fill(dp, max);
      dp[0] = 0;
      for (int i = 1; i <= amount; i++) {
          for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
              if (coins[j] <= i) {
                  dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
              }
          }
      }
      return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
  }

最后

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