问题

如果将三种背包问题混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎么求解呢?

转化为01背包问题，对的就是和多重背包一模一样,min(V // C[i],M[i])包含了3中情况：

def change_multiple_to_01(N,V,C,W,M):
    C_ =[]
    W_ =[]
    
    for i in range(N):
        t = min(V // C[i],M[i])
        k = 1
        j = t
        while 2*k <= t:
            C_.append(k*C[i])
            W_.append(k*W[i]) 
            j -= k
            k *= 2
        C_.append(j*C[i])
        W_.append(j*W[i])

    def pack_0_1_first(N,V,C,W):    
        F =[0]*(V+1)    
        for i in range(1,N+1):
            for v in range(V,C[i-1]-1,-1):
                F[v] = max(F[v],F[v-C[i-1]] + W[i-1])
        return F[V]
            
    N_ = len(C_)
    return pack_0_1_first(N_,V,C_,W_)

使用通用的状态方程：F [i , v] = max {F [i − 1, v − k ∗ C i ] + k ∗ W i | 0 ≤ k ≤ min{M i,V//Ci}

def pack_01_and_complete_and_multiple_Bottom_up(N,V,C,W,M):
    list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)

    for i in range(1,N+1):
        for j in range(0,V+1):
            t = min(j // C[i-1],M[i-1])
            result = -1000
            for k in range(t+1):
                A = list[i-1,j-k*C[i-1]] + k*W[i-1]
                if A > result:
                    result = A
            list[i,j] = result         
     
    return list[N,V]

假如01和完全混合，可以简化如下处理：

def pack_01_and_complete_Bottom_up(N,V,C,W,M):
    list =[0]*(V+1)
    for i in range(1,N+1):
        if M[i-1] == 1:
            for v in range(V,C[i-1]-1,-1):
                list[v] = max(list[v],list[v-C[i-1]] + W[i-1])
        if M[i-1] == 1000:
            for v in range(C[i-1],V+1):
                list[v] = max(list[v],list[v-C[i-1]] + W[i-1])      
    return list[V]

运行结果：

#%%
N = 7
V = 100
C = [11,2,3,9,13,6,7,5]
W = [1,2,9,7,5,11,6,14]
M = [1000,1,1000,1,1000,1,1,1]

print pack_multiple_Bottom_up(N,V,C,W,M)
print change_multiple_to_01(N,V,C,W,M)
print pack_01_and_complete_Bottom_up(N,V,C,W,M)
print pack_01_and_complete_and_multiple_Bottom_up(N,V,C,W,M)

print change_multiple_to_01_yes_or_no(N,V,C,M)
print pack_multiple_yes_or_no(N,V,C,M)

297
297
297
297
True
1

最后

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