一、数据调用与预处理

本文使用的数据为R语言自带数据集“iris”。iris数据集包含5个变量：
数值变量：Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width,
分类变量：Species
以下简述掉用过程和数据处理步骤。

data（"iris"）# 运行后 Environment 中的 Data 就会出现iris数据集

#分类变量Species处理
iris$isSetosa <- ifelse(iris$Species == 'setosa',1,0)
iris$isVersicolor <- ifelse(iris$Species == 'versicolor',1,0)

二、一元线性回归分析

1. 看散点图
   看起来有正相关关系

plot(iris$Petal.Length~iris$Petal.Width)

2. Petal 长与宽的一元线性回归
   根据一元线性回归拟合结果，截距项（Intercept）和petal.width均通过t检验（估计参数的检验p值小于0.05，统计显著）。模型整体拟合优度（$R^2$）为0.93，拟合效果较好。
   拟合结果：$petal.length=2.23\times petal.width+1.08$

pw_pl = lm(Petal.Length~Petal.Width, data = iris)#fomular = y~x
summary(pw_pl)

看一下pw_pl什么样子（非必要）

3. 诊断Petal.Width与Petal.Length的一元线性回归
   从残差图中看，残差形态无明显违背高斯假定的迹象。

p.res = residuals(pw_pl)
p.fit <- predict(pw_pl)
plot(p.res~p.fit)

Shapiro的原假设是检测变量符合正态分布，对petal长宽拟合的残差项的Shapiro正态检验中，P值大于0.05，无证据拒绝原假设，残差项是正态分布，符合一元线性回归要求。

shapiro.test(p.res)#正态检验

三、多元线性回归分析

多元线性回归基本假定：

1. 随机误差条件均值为零
2. 随机误差同方差
3. （时间序列）随机误差项无自相关
4. 随机误差项与解释变量不相关
5. 无多重共线性（解释变量之间）
6. 随机误差条件分布为正态分布

（一）解释变量的多重共线性检测

1. 算相关系数矩阵

iris_demo <- iris[,-5] #选取除了第5个变量（species）之外的其他变量
cor(iris_demo)

2. 求矩阵条件数（kappa值）

kappa(cor(iris_demo))

3. 求解相关系数矩阵的特征值与相应的特征根

eigen(cor(iris_demo))

（二）多元回归

1. 多元最小二乘回归

lm_iris <- lm(iris$Petal.Length~.,data = iris_demo)
summary(lm_iris)

2. 逐步回归

st_iris <- step(m_iris,derection = "both")
summary(st_iris)

（三）回归诊断

lm.res = residuals(lm_iris)
shapiro.test(lm.res)

st.res = residuals(st_iris)
shapiro.test(st.res)

四、模型评价-常用的准则统计量

• 计量体系中，ESS（Explained Sum Squares）表示可解释（回归）平方和，RSS（Residual Sum Squares）表示残差平方和
• 多元统计体系中，SSR（Sum of Squares Regression）为回归平方和，SSE（Sum of Squares Error）表示误差平方和
• 总结：SST = TSS，ESS = SSR，RSS = SSE

• $TSS=ESS+RSS;SST=SSR+SSE$
• $ESS=SSR=\Sigma ({\hat{y}}_i-{\bar{y}}_i{)}^2$
• $RSS=SSE=\Sigma (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$
• n 表示自由度

1. 拟合优度，越大越好
   $R^2=\frac{ESS}{TSS}$
2. 调整的样本决定系数，越大越好
   ${\bar{R}}^2=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$
3. 均方误差RMS，越小越好
   $RMS=RSS\times \frac{1}{n-k-1}$
4. 赤池信息标准AIC，越小越好
   $AIC=exp(\frac{2(k+1)}{n})\frac{RSS}{n}$
5. 施瓦茨信息标准SC，越小越好
   $SC=n^{\frac{k+1}{n}}\frac{RSS}{n}$
6. $C_p$标准，越小越好
   $C_p=\frac{RS{S}_q}{{\hat{\sigma }}_u^2}-[n-2(q+1)]$
   $RS{S}_q$：包含q个自变量的自己回归的残差平方和
   ${\hat{\sigma }}_u^2=\frac{RSS}{n-k-1}$：包含所有k个自变量时的均方误差
   $n-2(q+1)$：自由度惩罚因子

最后

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