第三章 多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量及其分布函数

$$P((X,Y)\in G)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& \sum _{(x_i,y_j)\in G}{p}_{ij},& 离散型(联合分布律)\\ & \underset{G\bigcap D}{\iint }f(x,y)dxdy,& 连续型(联合密度)\end{array}\end{array}$$

3.1.1 二维R.V.

• 分布函数(联合分布函数)：

  • 定义：$(X,Y)$ 为二维随机变量，$\forall (x,y)\in R^2$，称 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } color{red}F(x,y)=P{Xle x,Yle y } F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 为 $(X,Y)$ 的分布函数。

  • 解释：
    $$\begin{array}{rlrl}F(x,y)=& \underbrace{P(X\le x,Y\le y)}=P(A\bigcap B)=P(A)\cdot P(B)\ne & & \underbrace{P(X\le x)\cdot P(Y\le y)}.\\ & 乘积的概率& & 乘积的概率\end{array}$$

  • 矩形区域：
    P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) . P{x_1< Xle x_2,y_1< Yle y_2 }=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1). P{x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x1​,y2​)−F(x2​,y1​)+F(x1​,y1​).

  • 性质：

    1. 单调不减：当 $x_1<x_2$，有 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$；当 $y_1<y_2$，有 $F(x,y_1)\le F(x,y_2)$
    2. 两侧端点：$F(-\infty ,-\infty )=F(-\infty ,y)=F(x,\infty )=0,F(+\infty ,-\infty )=1$
    3. 左右连续：对 $\forall x,y\in R$，有 $F(x+0,y)=F(x,y+0)=F(x,y)$
    4. 非负性：对 $\forall x_1<x_2,y_1<y_2\in R$，有 $F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0$

3.1.2 二维离散型R.V.

离散型：取有限个或可数无穷个点对 $(x_i,y_i)$

• 分布律(联合分布律)：

  • 定义：$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij},i,j=1,2,...$
  • 性质：
    1. $p_{ij}\le 0,i,j=1,2,...$
    2. $\sum _{i,j}{p}_{ij}=1$

• 二维分布函数：$F(x,y)=\sum _{x_i\le x}\sum _{y_i\le y}{p}_{ij}$

3.1.3 二维连续型R.V.

• 密度(联合密度)：

  • 定义：
    $$\begin{gathered} F(x，y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv \\ f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y} \end{gathered}$$
    密度函数 $f(x,y)>0$ 的区域为连续性 $R.V.(X,Y)$ 的取值区域

  • 性质：

    1. $f(x,y)\ge 0,(x,y)\in R^2$
    2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$

• 知识点：已知联合密度 $f(x,y)$ 求概率 $P((X,Y)\in G)$ —— 本质是曲顶柱体体积 $V=\underset{D\bigcap G}{\iint }f(x,y)dxdy$

  • $⨀$ 1. 先画 $D$，再画 $G$
  • $⨀$ 2. 画箭头，选择 $x/y$ 积分方向
  • $⨀$ 3. 解释积分上下限

  $例题$：有密度函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& Ay,& 0<y<x<1\\ & 0,& others\end{array}\end{array}$

  1. 求 $A$

     解：
     $$\begin{gathered} 1={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}Aydy=\frac{A}{6} \\ \therefore A=6 \end{gathered}$$

  2. 求 $P(X\le \frac{1}{2},Y\le \frac{1}{4})$

     解：
     $$P(X\le \frac{1}{2},Y\le \frac{1}{4})={\int }_{-\infty }^{\frac{1}{2}}dx{\int }_{-\infty }^{\frac{1}{4}}f(x,y)dy={\int }_0^{\frac{1}{4}}dy{\int }_y^{\frac{1}{2}}6ydy=\frac{1}{16}$$

  3. 求 $P(X+Y\le \frac{1}{2}),P(X+Y\le \frac{3}{2})$

     解：
     $$\begin{array}{rl}& P(X+Y\le \frac{1}{2})={\int }_0^{\frac{1}{4}}dy{\int }_y^{\frac{1}{2}-y}6ydx={\int }_0^{\frac{1}{4}}6y(\frac{1}{2}-2y)dy=\frac{1}{32}\text{ 注意对x积分时内部是对y的函数}\\ & P(X+Y\le \frac{3}{2})={\int }_0^{\frac{3}{4}}dx{\int }_0^{x}6ydy+{\int }_{\frac{3}{4}}^{1}dx{\int }_0^{\frac{3}{2}-x}6ydy=\frac{23}{32}\end{array}$$
     

• 二维均匀分布：

  • 解释：等可能的落入区域 $G$ 的随机点。
  • 定义：$f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& \frac{1}{S(G)},& (x,y)\in G\\ & 0，& others.\end{array}\end{array}$，其中 $S(G)$ 为 $G$ 的面积
  • 表示：$(X,Y)\sim U(G)$
  • 结论：若 $(X,Y)\sim U(G)$，则 $P((X,Y)\in G)=\frac{S_{D\bigcap G}}{S_D}$

3.2 边缘分布与R.V.独立性

3.2.1 边缘分布函数与R.V.独立性

• 边缘分布函数：
  F X ( x ) ≐ F ( x , + ∞ ) = P { X ≤ x , Y ≤ + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F Y ( y ) ≐ F ( + ∞ , y ) = P { X ≤ + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) color{red}F_X(x)doteq F(x,+infty)=P{Xle x,Yle +infty }=F(x,+infty)\ color{red}F_Y(y)doteq F(+infty,y)=P{Xle +infty,Yle y}=F(+infty,y) FX​(x)≐F(x,+∞)=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)FY​(y)≐F(+∞,y)=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y)

• 独立性：

  • 定义：对 $\forall x,y$，有 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。此时通过边缘分布可得到二位分布函数。
  • 定理：设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且 $g(x),h(y)$ 分别是 $x,y$ 的连续函数，则 $X_1=g(X)$ 与 $Y_1=h(Y)$ 也相互独立。
  • 注意：
    • 交事件的概率：$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$
    • 概率的乘积：$F_X(x)\cdot F_Y(y)=P(X\le x)\cdot P(Y\le y)$

3.2.2 离散型边缘分布

• 边缘概率分布(边缘分布)：

  • 定义：
    $$\begin{gathered} p_{i\cdot }=P(X=x_i)=\sum _j{p}_{ij},i=1,2,... \\ {p}_{\cdot j}=P(Y=y_j)=\sum _i{p}_{ij},j=1,2,... \end{gathered}$$

  • 定理：$X$ 与 $Y$ 独立 $⟺p_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}$

  $例题$：二维概率分布 $(X,Y)$ 如图，若事件 $(X=1)$ 与 $(X+Y=1)$ 相互独立，求 $a,b$ 并判断 $X,Y$ 之间的独立性。

解：
$$\begin{gathered} P(X=1)P(X+Y=1)=P(X=1,X+Y=1)=P(X=1,Y=0) \\ 即(b+0.1)(a+b)=0.1 \\ \because a+b=0.5\therefore a=0.4,b=0.1 \\ 也发现X,Y独立 \end{gathered}$$

3.2.3 连续性边缘分布

• 边缘密度函数：

  • 定义：
    $$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy,-\infty <x<+\infty \\ {f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx,-\infty <y<+\infty \end{gathered}$$

  • 定理：$X$ 与 $Y$ 独立 $⟺f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 在三个密度函数的公共连续点处成立。

• 知识点：已知联合密度 $f(x,y)$ 求边缘密度

  • $⨀$ 1. 画图，画 $D$
  • $⨀$ 2. 对二元函数的一元积分
  • $⨀$ 3. 判断定义域

  $$f(x,y)\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \stackrel{对y积分}{⟶}{f}_X(x)=\{\begin{array}{llc}& {\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy,& x\in [a,b]\\ & 0,& others\end{array}\\ & \stackrel{对x积分}{⟶}{f}_Y(y)=\{\begin{array}{llc}& {\int }_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx,& y\in [c,d]\\ & 0,& others\end{array}\end{array}\end{array}$$

3.3 条件分布与条件概率

• 条件分布函数：$F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y),x\in R$ 为 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件分布函数

  当 $X,Y$ 不独立时，条件分布函数是研究 $X$ 与 $Y$ 间相互关系的工具

3.3.1 离散型R.V.的条件分布

• 条件分布律：

  • 定义：对于固定的 $j$，有 $p_{\cdot j}>0$，称 $P(X=x_i|Y=y_i)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$ 为 $Y=y_j$ 的条件下 $X$ 的条件分布律。$Y$ 的条件分布律同理。
  • 性质：
    1. $P(X=x_i|Y=y_i)\ge 0,i=1,2,..$
    2. $\sum _{i}P(X=x_i|Y=y_i)=\sum _i\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}=1$

• 三律关系：

  联合分布律	边缘分布律	条件分布律
  $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$	$P(X=x_i)=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=p_{i\cdot }$	$P(Y=y_j
  $P(A_i{B}_j)$	$P(A_i)$	已知 $X=x_i$ 时，$P(B_j

  1. 已知联合分布律，可得到边缘分布律，进而得到条件分布律

  2. 通过边缘分布律和条件分布律可逆推出联合分布律

     $例题$：从1,2,3中任意取一个数 $X$，在从1到 $X$ 中任意取一个数 $Y$，求 $Y$ 的分布律

     解：
     $$\begin{gathered} 已知P(X=x_i)=\frac{1}{3},P(Y=j|X=i)=\frac{1}{i} \\ 则联合分布律P(X=i,Y=j)=P(X=i)\cdot P(Y=j|X=i)=\frac{1}{3i},(i=1,2,3,j=1,2,i) \\ \begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}& P(Y=1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}\\ & P(Y=2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}\\ & P(Y=1)=\frac{1}{9}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

3.3.2 连续性R.V.的条件密度函数

• 条件分布函数：

  • 定义：对任意 $ϵ>0$，若极限 $\underset{ϵ⟶0^{+}}{\lim }P(X\le x|y-ϵ<Y\le y+ϵ)$ 存在，则称此极限为条件 $Y=y$ 下 $X$ 的条件分布函数，记为
    $$F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y)=\underset{ϵ⟶0^{+}}{\lim }P(X\le x|y-ϵ<Y\le y+ϵ)=\underset{ϵ⟶0^{+}}{\lim }\frac{P(X\le x,y-ϵ<Y\le y+ϵ)}{P(y-ϵ<Y\le y+ϵ)}$$

  • 定理：二维随机变量 $(X,Y)$ 有 $f(x,y)$，则
    $$\begin{gathered} F_{X|Y}(x|y)=\frac{\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}}{F_Y^{\prime }(y)}={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du,x\in R \\ {F}_{Y|X}(y|x)=\frac{\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}}{F_X^{\prime }(x)}={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv,y\in R \end{gathered}$$

• 条件密度：条件密度等于联合密度除以边缘密度
  $$\begin{gathered} f_{X|Y}(x|y)=\frac{\partial F_{X|Y}(x|y)}{\partial x}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \\ {f}_{Y|X}(y|x)=\frac{\partial F_{Y|X}(y|x)}{\partial y}=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} \end{gathered}$$

• 知识点：计算 $Y=y$ 条件下 $X$ 的概率

  • $⨀$ 1. 已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& g(x,y),& & (x,y)\in D\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}$
  • $⨀$ 2. 则边缘密度 $f_X(x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& {\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy,& & x\in [a,b]\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}$
  • $⨀$ 3. 故得到当 $y\in [c,d]$ 时，条件密度 $f_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& \frac{f(x,y)}{f_Y(y)},& & x\in [a(y),b(y)]\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}$
  • $⨀$ 4. 求得概率 $P(X\in G|Y=y_0)$，此时

  $$\begin{gathered} X^{new}\sim f_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& \frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)},& & x\in [a(y_0),b(y_0)]\\ & 0,& & others\end{array}\end{array} \\ P(X\in G|Y=y_0)=\underset{G\bigcap D(x)}{\int }{f}_{X|Y}(x|y_0)dx \end{gathered}$$

  $例题$：随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& 1,& & |y|<x,0<x<1\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}$
  

  1. 求 $f_X(x),f_Y(y)$

     解：
     $$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& {\int }_{-x}^{x}dy=2x,& & 0<x<1\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}$$

     $$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& {\int }_y^{1}dx=1-y,& & 0\le y<1\\ & {\int }_{-y}^{1}dx=1+y,& & -1\le y<0\\ & 0,& & others\end{array}\end{array}=\{\begin{array}{l}1-|y|,|y|<1\\ 0,others\end{array}$$

  2. 求 $f_{X|Y}(x|y),f_{Y|X}(y|x)$

     解：
     $$\begin{array}{rl}& 当|y|<1时\\ & f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\{\begin{array}{llc}& \frac{1}{1-|y|},& |y|<x<1\\ & 0,& others\end{array}\\ & 当0<y<1时\\ & f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\{\begin{array}{llc}& \frac{1}{2x},& |y|<x\\ & 0,& others\end{array}\end{array}$$

  3. 求 P { Y > 1 4 ∣ X = 1 2 } P{Y>dfrac{1}{4}|X=dfrac{1}{2}} P{Y>41​∣X=21​}
     当 x = 1 2 时 ， f Y ∣ X ( y ∣ 1 2 ) = { 1 , ∣ y ∣ < 1 2 0 , o t h e r s P { Y > 1 4 ∣ X = 1 2 } = ∫ 1 4 1 2 1    d y = 1 4 begin{aligned}&当x=dfrac{1}{2}时， f_{Y|X}(y|dfrac{1}{2})=begin{cases}1,quad|y|<dfrac{1}{2}\0,quad others end{cases}\ &P{Y>dfrac{1}{4}|X=dfrac{1}{2}}=int_{1over 4}^{1over 2}1;dy=dfrac{1}{4} end{aligned} ​当x=21​时，fY∣X​(y∣21​)=⎩⎨⎧​1,∣y∣<21​0,others​P{Y>41​∣X=21​}=∫41​21​​1dy=41​​

3.4 二维随机变量函数的分布

• 二维离散型随机变量函数：若 P { X = x i , Y = y i } = p i j P{X=x_i,Y=y_i}=p_{ij} P{X=xi​,Y=yi​}=pij​，则 $Z=g(X,Y)$ 有分布律 $P(Z=z_k)=\sum _{g(x_i,y_j)=z_k}{p}_{ij}$

• 二维连续型随机变量函数：$Z=g(X,Y)$ 是随机变量，$f(x,y)$ 一般定义域简洁(例如矩形)

  • 求随机变量函数 $Z=g(X,Y)$ 的密度函数的一般方法：

    • $⨀$ 1.确定 $Z$ 的取值范围 $R(Z)$；

    • $⨀$ 2.求 $Z$ 的分布函数，对任意 $z\in R(Z)$，先求 $Z$ 的分布函数
      F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = P { ( X , Y ) ∈ G ( z ) } = ∫ ( x , y ) ∈ G ( z ) ⋂ D f ( x , y )    d x d y color{red}F_Z(z)=P{Zle z}=P{g(X,Y)le z}=P{(X,Y)in G(z)}=intlimits_{(x,y)in G(z)bigcap D}f(x,y);dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=P{(X,Y)∈G(z)}=(x,y)∈G(z)⋂D∫​f(x,y)dxdy

    • $⨀$ 3.再求密度 $f_Z(z)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& F_Z^{\prime }(z),& z\in R(Z)\\ & 0,& z\notin R(Z)\end{array}\end{array}$

    注意事项：

    1. 先画 $(x,y)$ 定义域 $D$，再画 $G(z)$（一簇曲线），考虑 $G(z)\bigcap D$ 的形式
    2. 解释积分限，与 $z$ 有关

  • $例题$：已知 $(X,Y)$ 有密度函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& xy,& 0\le x\le 2,0\le y\le 1\\ & 0,& others\end{array}\end{array}$，求 $Z=XY$ 的密度函数。

    解：
    $$\begin{gathered} \begin{array}{rlrl}& 易得R(Z)=[0,2];& & 对于\forall z\in [0,2],有F_Z(z)=P(Z\le z)=P(XY\le Z).\\ & 当z\in [0,2]时,& & F_Z(z)=\underset{D\bigcap G}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_0^{z}dx{\int }_0^{1}xydy+{\int }_z^{2}dx{\int }_0^{\frac{z}{x}}xydy=\frac{z^2}{4}+\frac{z^2}{2}(\ln 2-\ln z);\\ & 当y\in (2,+\infty )时,& & F_Z(z)=1;\\ & 当y\in (-\infty ,0)时,& & F_Z(z)=0.\end{array} \\ 从而f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)=\{\begin{array}{l}z(\ln 2-\ln z),0\le z\le 2\\ 0,others\end{array} \end{gathered}$$

• 离散型 + 连续性：$X$ 为离散型随机变量，$Y$ 为连续型随机变量，求 $Z=XY$ 的密度
  $$F_Z(z)=\sum _{i\in X}P(X_i)P(Y|X_i)$$

• 卷积公式(适用于 $Z=X\pm Y$)：二维连续性随机变量 $(X,Y)$ 有联合密度 $f(x,y)$，变量函数 $Z=X+Y$，则 $Z$ 的密度函数为
  $$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$$
  特别地，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，有
  $$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$$

  • 证明：

  F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y )    d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y )    d y 令 u = y + x , 则 d y = d u , 故 F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z f ( x , u − x )    d u = ∫ − ∞ z [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , u − x ) d x ] d u 从 而 f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x begin{aligned}&F_Z(z)=P{Zle z}=P{X+Yle z}=iintlimits_{x+yle z}f(x,y);dxdy=int_{-infty}^{+infty}dxint_{-infty}^{z-x}f(x,y);dy\ &令u=y+x,则dy=du,故 \ &F_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}dxint_{-infty}^{z}f(x,u-x);du=int_{-infty}^zleft[int_{-infty}^{+infty}f(x,u-x)dx right]du \ &从而f_Z(z)=F'_Z(z)=int_{-infty}^{+infty} f(x,z-x)dx end{aligned} ​FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=x+y≤z∬​f(x,y)dxdy=∫−∞+∞​dx∫−∞z−x​f(x,y)dy令u=y+x,则dy=du,故FZ​(z)=∫−∞+∞​dx∫−∞z​f(x,u−x)du=∫−∞z​[∫−∞+∞​f(x,u−x)dx]du从而fZ​(z)=FZ′​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx​

  • $例题$：已知 $(X,Y)$ 有密度函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& 2-x-y,& 0<x,y<1\\ & 0,& others\end{array}\end{array}$，求 $Z=X+Y$ 的密度函数。

    解：
    

    $$\begin{array}{rl}& R(Z)=(0,2),对\forall 0<z<2,有f_Z(z)={\int }_{\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx.\\ & 使被积函数f(x,z-x)非零,需满足\{\begin{array}{l}0<x<1\\ 0<z-x<1\end{array},即\{\begin{array}{l}0<x<1\\ x<z<1+x\end{array}\\ & 当0<z<1时，f_Z(z)={\int }_0^z(2-z)dx=z(2-z)\\ & 当1<z<2时，f_Z(z)={\int }_{z-1}^1(2-z)dx=(2-z{)}^2\\ & f_Z(z)=\{\begin{array}{l}z(2-z),0<z<1\\ (2-z{)}^2,1<z<2\\ 0,others\end{array}\end{array}$$

  • 常见分布可加性($n$ 维随机变量)：

    • 二项分布：若 $X_i$ 之间相互独立，且 $X_i\sim B(n_i,p),i=1,2,...,n$，则 $X_1+X_2+...X_n\sim B(\sum _{i=1}^n{n}_i,p)$

      证明：离散型 $Z=X+Y$ 有 $P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i,Y=k-i)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)$

    • 泊松分布：若 $X_i$ 之间相互独立，且 $X_i\sim P({\lambda }_i),i=1,2,...,n$，则 $X_1+X_2+...X_n\sim P(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i)$

    • $\Gamma$ 分布：若 $X_i$ 之间相互独立，且 $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\beta ),i=1,2,...,n$，则 $X_1+X_2+...X_n\sim \Gamma (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,\beta )$

• 极大值极小值分布($n$ 维随机变量)：若 $X_i$ 之间相互独立，且 $X_i$ 有分布函数 $F_i(x_i),i=1,2,...,n$。令 M = max ⁡ { X i , X 2 , . . . , X n } , N = min ⁡ { X i , X 2 , . . . , X n } M=max{X_i,X_2,...,X_n},N=min{X_i,X_2,...,X_n} M=max{Xi​,X2​,...,Xn​},N=min{Xi​,X2​,...,Xn​}，则 $M,N$ 的分布函数为
  F M ( x ) = P ( max ⁡ i = 1 n { X i } ≤ x ) = P ( ⋂ i = 1 n X i ≤ x ) = ∏ i = 1 n P ( X i ≤ x ) = ∏ i = 1 n F i ( x ) F N ( x ) = P ( min ⁡ i = 1 n { X i } ≤ x ) = 1 − P ( min ⁡ i = 1 n { X i } > x ) = 1 − P ( ⋂ i = 1 n X i > x ) = 1 − ∏ i = 1 n P ( X i > x ) = 1 − ( ∏ i = 1 n 1 − F i ( x ) ) begin{aligned}F_M(x)&=P(maxlimits_{i=1}^n {X_i}le x)\ &=P(bigcaplimits_{i=1}^n X_ile x)\ &=prodlimits_{i=1}^n P(X_ile x)\ &=color{red}prodlimits_{i=1}^n F_i(x)\ F_N(x)&=P(minlimits_{i=1}^n {X_i}le x)\ &=1-P(minlimits_{i=1}^n {X_i}> x)\ &=1-P(bigcaplimits_{i=1}^n X_i>x)\ &=1-prodlimits_{i=1}^n P(X_i> x)\ &=color{red}1-left(prodlimits_{i=1}^n 1-F_i(x)right)\ end{aligned} FM​(x)FN​(x)​=P(i=1maxn​{Xi​}≤x)=P(i=1⋂n​Xi​≤x)=i=1∏n​P(Xi​≤x)=i=1∏n​Fi​(x)=P(i=1minn​{Xi​}≤x)=1−P(i=1minn​{Xi​}>x)=1−P(i=1⋂n​Xi​>x)=1−i=1∏n​P(Xi​>x)=1−(i=1∏n​1−Fi​(x))​
  特别地，若 $X_i$ 之间独立同分布 i.i.d.， 则
  $$\{\begin{array}{l}{F}_M(x)=F^n(x)\\ F_N(x)=1-[1-F(x){]}^n\end{array}\{\begin{array}{l}{f}_M(x)=[F^n(x){]}^{\prime }=n{F}^{n-1}(x)f(x)\\ f_N(x)=[1-[1-F(x){]}^n{]}^{\prime }=n[1-F(X){]}^{n-1}f(x)\end{array}$$

  例如：并联系统为极大值分布，串联系统为极小值分布

最后

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