算法导论学习笔记-第5章 概率分析和随机算法

总结：这章由雇佣问题引出了概率 分析和随机算法。概率分析一般用于确定一些算法的运行时间。而随机化算法用来强行使算法的输入符合某种概率分布，随机化算法的行为不仅由输入决定，还要由 一个随机数生成器所生成的值来决定。

1、 概率分析

可以利用指示器随机变量来进行概 率分析，获得事件发生的期望值。

引理：给定样本空间 S 和 S 中的事件 A ，令 X_A =I{A} ，则 E[X_A ]=Pr{A}

2、 随机算法

概率分析是在输入上作了假设，而 在随机算法中，随机发生在算法上，而不是发生在输入分布上，也就是对于同一个输入，由于引入了随机算法，最后的排列也会发生变化。这样做是使得“即使你最 坏的敌人也无法产生最糟的输入数列，因为随机的排列使得输入次序不相关，只有在随机数生成器产生一个不幸运的置换时，随机算法才运行得不好”。

随机排列数组的方法

1 ）为数组的每个元素 A[i] 赋一个随机的优先级 P[i] ，然后根据优先级对数组 A 中的元素进行排序。 这 里排序，将花费 O(nlgn) 的时间。

伪代码

PERMUTE-BY-SORTING n <- length[A] for i <- 1 to n do P[i]=RANDOM(1,n^3) sort A, using P as sort keys return A

引理：假设所有的优先级都是唯一 的，过程 PERMUTE-BY-SORTING 可 以产生输入的均匀随机排列。

2 ）原地排列给定的 数列。在 O(n) 时间内完成。

伪代码

RANDOMIZE-IN-PLACE(A) n <- length[A] for i <- 1 to n do swap A[i] <-> A[RANDOM(i,n)]

引理：过程 RANDOMIZE-IN-PLACE 可以计算出一个均匀随机排列。

最后

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