通信原理系列文章：

通信原理之模拟幅度调制（线性调制）

通信原理之模拟角度调制(非线性调制)

通信原理之模拟调制系统信号的抗造性能

通信原理之数字调制原理

   正弦载波有三个参量: 幅度、频率、相位。
       $c(t)=Acos[w_{c}t+\psi ]$
这三个参量都可以用来携载消息信息 m(t) 。若 m(t) 被载在 幅度上，则为 幅度调制,AM(Amplitude Modulation)；若在 频率上，则为 频率调制，简称调频 Frequncy Modulation,FM；若为 相位调制，则为 相位调制, Phase Modulation, PM。因为频率和相位是微积分的关系，故不管是调频还是调相都会是载波的角度 $w_{c}t+\psi$ 发生变化，故调频和调相统称为 角度调制。

1、FM和PM

   设一般表达式为：

      $s_m(t)=Acos[w_{c}t+\psi (t)]$

若幅度 A 恒定，而 ψ(t) 随消息信号 m(t) 变化，则改信号为角调信号。其中， $w_{c}t+\psi (t)$ 为已调信号的瞬时相位，ψ(t) 是相对于载波相位 $w_{c}t$ 的瞬时相位偏移，对瞬时相位求微分则可得到已调信号的瞬时角频率 $w_c+\frac{d\psi (t)}{dt}$ , $\frac{d\psi (t)}{dt}$ 是相对于载频 $w_c$ 的瞬时角频偏。
   若相位偏移正比于消息信号的变化规律 $\psi (t)=K_{p}m(t)$，则已调信号为调相信号，表达式为：

      $s_{PM}(t)=Acos[w_{c}t+K_{p}m(t)]$

其中， $K_p$ 为相移常数(rad/V)。
   若角频偏正比于消息函数，$\frac{d\psi (t)}{dt}=2\pi K_{f}m(t)$，而相位偏移正比于 m(t) 的积分 $\phi (t)=2\pi K_f\int m(\tau )d\tau$，则已调信号为调频信号，表达式为：

$s_{FM}(t)=Acos[w_{c}t+2\pi K_f\int m(\tau )d\tau ]$

其中，$K_f$ 为频偏常数 (Hz/V) ,表示单位调制电压产生的频偏量，也称调频灵敏度。
   因为频率和相位是微分积分关系，故调频和调相可以相互转换。若将调制信号m(t) 通过微分器后再调频 FM，则可得到调相信号 $s_{PM}(t)$。

调相波是频率正比于 m(t) 微分的等幅波。

若将调制信号 m(t) 经过微分器后，再调相 PM，则得到调频信号 $s_{FM}(t)$。

调频波是频率正比于m(t) 的等幅波，其疏密随 m(t) 的大小变化。

但若预先不知道消息信号 m(t) 的变化规律，不能直接判断是 PM还是 FM信号。

2、FM参数与带宽

2.1、调频指数和最大频偏

   设 单音（单频正弦型信号）$m(t)=A_{m}cos{w}_{m}t$，其中 $w_m=2\pi f_m$，则有对应的角频偏为：

$\frac{d\psi (t)}{dt}=2\pi K_{f}m(t)=2\pi K_f{A}_{m}cos{w}_{m}t$

其中，$\Delta f=K_f{A}_m$ 称为最大频偏。
对应的相偏为：

$\psi (t)=2\pi K_f\int m(\tau )d\tau =2\pi K_f\frac{A_m}{w_m}sin{w}_{m}t=2\pi K_f\frac{A_m}{2\pi f_m}sin{w}_{m}t=\frac{\Delta f}{f_m}sin{w}_{m}t$

故，单音调频的表达式为：

$s_{FM}(t)=Acos[w_{c}t+m_{f}sin{w}_{m}t]$

其中，$m_f$ 称为调频指数 ， $m_f=\frac{\Delta f}{f_m}=\frac{K_f{A}_m}{f_m}$，其物理含义是最大相位偏移，与调制信号的振幅 $A_m$ 成正比，与调制频率 $f_m$ 成反比，它涉及到 FM的传输带宽、功率分配和抗噪性能，是FM的一个重要参量。

2.2、FM的频谱

   设单音调制信号为 $m(t)=A_{m}cos{w}_{m}t=A_{m}cos2\pi f_{m}t$，对应的单音调制FM信号的时域表达式为：

      $s_{FM}(t)=Acos[w_{c}t+m_{f}sin{w}_{m}t]$

利用三角公式展开，有

$s_{F}M(t)=Acos{w}_{c}t\cdot cos(m_{f}sin{w}_{m}t)-Asin{w}_{c}t\cdot sin(m_{f}sin{w}_{m}t)$

对两个因子分别展开成傅里叶级数：

$cos(m_{f}sin{w}_{m}t)=J_0(m_f)+{\sum }_{n=1}^{\infty }2J_{2n}(m_f)cos2n{w}_{m}t$

$sin(m_{f}sin{w}_{m}t)=2{\sum }_{n=1}^{\infty }{J}_{2n-1}(m_f)sin(2n-1)w_{m}t$

式中， $J_n(m_f)$ 为第一类 n 阶贝塞尔 (Bessel) 函数，它是调频指数 $m_f$ 的函数，$J_n(m_f)$ 随 $m_f$ 变化的关系曲线如下所示：

阶贝塞尔 (Bessel) 函数的主要特性为：
   $\begin{array}{cc}{J}_{-n}(m_f)=-J_n(m_f)& n为奇数时\\ J_{-n}(m_f)=J_n(m_f)& n为偶数时\end{array}$
带入两个因子后得到FM信号的级数展开式为

$\begin{array}{ccc}{s}_{FM}(t)& =A{J}_0(m_f)cos{w}_{c}t-A{J}_1(m_f)[cos(w_c-w_m)t-cos(w_c+w_m)t]& +\\ & A{J}_2(m_f)[cos(w_c-2w_m)t+cos(w_c+2w_m)t]& -\\ & A{J}_3(m_f)[cos(w_c-3w_m)t+cos(w_c+3w_m)t]& +...\\ & =A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(m_f)cos(w_c+n{w}_m)t& \end{array}$

再进行傅里叶变换，得到FM信号的频域表达式为

$S_{FM}(w)=\pi A{\sum }_{-\infty }^{\infty }{J}_n(m_f)[\delta (w-w_c-n{w}_m)+\delta (w+w_c+n{w}_m)]$

可见，调频信号FM的频谱是由载波分量 $w_c$ 和其两侧的无数边频 $w_c\pm n{w}_m$ 组成，且频谱的幅度取决于 $m_f$。当 n=0 时是载波分量 $w_c$，其幅度为 $A{J}_0(m_f)$ ；当 n≠0 时就是对称分布在载频两侧的边频分量 $w_c\pm n{w}_m$ ，其幅度为 $A{J}_n(m_f)$ ，相邻边频之间的间隔为$w_m$;且当 n 为奇数时，上、下边频极性相反；当 n 为偶数时极性相同。由此可见，FM信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是一种非线性过程。

2.3、FM带宽

   调频信号的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频信号FM的频带宽度为无限宽。但是，实际上边频幅度 J_n(m_f) 随着 n 的增大而逐渐减小，因此只要取适当的 n 值使边频分量小到可以忽略的程度，调频信号可近似认为具有有限频谱。通常采用的原则是，信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的 10% 以上的边频分量， 即 $|J_n(m_f)|\ge 0.1$。当 $m_f\ge 1$ 以后，取边频数 $n=m_f+1$ 即可。因为 $n>m_f+1$ 以上的边频幅度 $J_n(m_f)$ 均小于 0.1，这意味着大于未调载波幅度 10% 以上的边频分量均被保留。因为被保留的上、下边频数共有 $2n=2(m_f+1)$ 个，相邻边频之间的频率间隔为 $f_m$ ,所以调频波的有效带宽为

      $B_{FM}=2(m_f+1)f_m=2(\Delta f+f_m)$

这个公式称为 卡森(Carson) 公式，被广泛用于计算调频信号带宽。忽略这个频带外的分量，不会产生可察觉的失真，这个频带内保留了98%的分量。

当 调频指数 $m_f<<1$ 时，$B_{FM}\approx 2f_m$，这是窄带调频（NBFM）时的情况；
当 调频指数 $m_f>>1$ 时，$B_{FM}\approx 2\Delta f$，这是宽带调频（WBFM）时的情况；

   对于多音或任意带限调制信号，FM带宽依旧可以表示为：

      $B_{FM}=2(m_f+1)f_m$

其中，$f_m$ 为调制信号 m(t) 的最高频率，即基带信号带宽。例如，FM广播的 $\Delta f=75kHz$ ，最高调制频率为 $f_m=15kHz$，故调制指数 $m_f=\frac{\Delta f}{f_m}=5$， FM信号的频带宽度为：

      $B_{F}M=2(5+1)x15=180kHz$

可见，调频信号FM的带宽比幅度已调信号的带宽要大得多。一般来说，对传输相同种类的信号，如音频信号，带宽越宽品质越高。如中波 AM 广播，其音频信号的频率 被限制的 4.5kHz，$f_m<4.5kHz$，而在调频FM广播中，可将音频信号的频率扩大至 15kHz，所以调频FM电台的节目听起来要比调幅AM广播的高音丰富，清晰逼真，而调频立体声调频广播占用带宽 198kHz 则更加动听。调频方式通常用于超短波或更高频段，而不能用在中波波段。

3、FM的产生与解调

3.1、FM的产生

   FM的产生分为直接法和间接法。

• 直接法，通过调制电压m(t) 控制震荡回路VCO的某个元器件，从而使振荡器的震荡频率随消息信号的规律变化。

      $w_i(t)=w_0+K_{f}m(t)$

其优点是：因为调制和震荡合二为一，故电路简单，可获得较大频偏。缺点是：稳定度不高。通常采用锁相环PLL调频器进行改进。

• 间接法，是利用调相的方法实现调频的。原理是，对 m(t) 进行积分、调相产生 窄带调频 NBFM，经倍频以后输出 宽带调频 WBFM。

其优点是：频率稳定度好。缺点是电路较复杂，需要多次倍频和混频。

3.2、FM的解调（鉴频）

   鉴频器有多种形式，这里主要介绍振幅鉴频器，它的核心电路是 微分电路和包络检波，微分电路将幅度恒定的调频波 $s_{F}M(t)$ 变换成幅度和频率都随信号 m(t) 变化的调频调幅波 $s_d(t)$。
$s_{FM}(t)=Acos[w_{c}t+K_f\int m(\tau )d\tau ]$
$d_d(t)=-A[w_c+K_{f}m(\tau )]sin[w_{c}t+K_f\int m(\tau )d\tau ]$
这个变换实际上是将调频波中隐含在频率变化中的 m(t)，浮出到表面即幅度上，故可以采用包络检波器将 $s_d(t)$ 信号中的包络 $A[w_c+K_{f}m(\tau )]$ 检出，然后通过低通隔掉直流分量 A，就可以还原原来的调制信号 $m_o(t)=K_d{K}_{f}m(t)$ 。

4、FM的特点与应用

   FM的特点:

• 包络恒定，这是不同于AM的重要特点。FM将消息隐含在频率上而不是幅度上。
• 抗噪声能力强。由于各种噪声干扰的作用主要表现在信号的振幅上，所以解调时可以通过限幅器来消除这种干扰。
• FM的频偏正比于m(t) $\frac{d\psi (t)}{dt}=2\pi K_{f}m(t)$，相偏正比于 m(t) 的积分 $\psi (t)=2\pi K_f\int m(\tau )d\tau$。
• FM的带宽比AM大 $(m_f+1)$ 倍，$B_{FM}=2(m_f+1)f_m$，$m_f=\frac{\Delta f}{f_m}$，也正因此FM需占用较大的信道带宽，频谱利用率低。

   FM的应用:

• 主要应用在高质量或信道噪声大的场合，如调频广播，电视伴音、卫星通信、移动通信、微波通信和蜂窝电话等。

例：设某角调波的表达式为：
$s_m(t)=8cos(2\times 10^6\pi t+10cos2000\pi t)$
可知，幅度 A=8 ，载波角频率 $w_c=2\times 10^6\pi$，调制角频率 $w_c=2000\pi$，调制频率 $fm=\frac{w_m}{2\pi }=1000$，则可以得到
（1）已调波的功率为： $p=\frac{A^2}{2}$
由已调信号的瞬时相位偏移$10cos2000\pi t$ 可得 最大相位偏移为 $\Delta \theta =10rad$；
最大频偏 $\Delta f=\frac{w_m}{2\pi }=\frac{\frac{\psi (t)}{dt}}{2\pi }=\frac{10\times 2000\pi }{2\pi }=10kHz$；
调频指数 $m_f=\frac{\Delta f}{f_m}=\frac{10\times 10^3}{10^3}=10$，调频指数是最大相位偏移的概念，等于$\Delta \theta$。
带宽:
      $B_{FM}=2(m_f+1)f_m=2(10+1)\times 10=220$
      $B_{PM}=2(\Delta \theta +1)f_m=2(10+1)\times 10=220$
（2）是FM信号还是PM信号呢？无法判断，因为不知道消息信号m(t)的变化规律。
（3）若是FM信号，且 $K_f=2000Hz/V$ ，则根据 $\frac{d\psi (t)}{dt}=2\pi K_{f}m(t)$，可得到 $m(t)=\frac{10\times 2000\pi sin(2000\pi t)}{2\pi K_f}=5sin(2000\pi t)$。
（4）若是PM信号，且 $K_P=4rad/V$ ，则根据 $\psi (t)=K_{P}m(t)$ ，可得 $m(t)=\frac{\psi (t)}{K_P}=\frac{10cos(2000\pi t)}{4}=2.5cos(2000\pi t)$ 。

本文为个人学习笔记，欢迎一起学习讨论。

最后

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