FFT频谱分析以及时域频域上参数关系

1.解读时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤：

首先，一个时域信号x(t)(频谱为x(jw))通过一个低通滤波器，频谱上就是截断x(jw)在某一频段，至于这频段为多少：

为了满足采样定理，x'(t)的频谱2*π*f'<=π*fs=π/T  (这里的T为采样周期)，因此低通滤波器的最大频段为-π/T到π/T，也就是x(jw)的频段最大范围为-π/T到π/T；

而后，经过A/D转换器，时域上的采样在频域上为周期延拓，因此x(n)的离散频谱x(e^jw)为x(jw)的周期延拓，并且x(e^jw)的周期为2π（这是离散傅里叶变换的特性）；

再，为了进行FFT的计算，我们不允许x(n)的n范围为无穷大，需要限制，故需要与一个窗函数w(n)在时域上相乘，利用时域上相乘代表频域上的卷积可以得知

因为y(n)=x(n)*w(n),所以y(e^jw)是w(e^jw)与x(e^jw)的卷积结果；

最后，得到了y(e^jw)，所以y(k)=y(e^jw)（w=2π/N*k）,这里的N代表着N点DFT。

2.时域频域之间的关系

我们假设频谱分辨率为F，采样周期为T（采样频率f=1/T）,t为时域上截取后的信号长度，N为信号点数

（1）由时域推到频域：

因为时域上的间隔即采样周期T=t/N(s)

所以频谱上的长度fs=1/T=N/t(hz),，频谱间隔为1/t(hz)

因此转换单位后,频谱间隔：1/t(hz)=2π/t(rad/s)=2πT/t(rad)  利用N=t/T的关系，最后得到频谱间隔2π/N。

（2）频域上推到时域：

因为频谱间隔w=2*π/N(rad),转换成rad/s的单位Ω=w/T=2π/NT(rad/s)    再转换成hz的单位f=Ω/2π=1/NT(hz)

因此时域上的样本长度为t=1/f=NT(s)

故采样周期T=t/N=T(s)

最后也可以得出，如果时域上的间隔为fs(hz)，则频谱上的间隔为fs/N(hz)；

如果频谱上的间隔为fs(hz)，则时域上的间隔为fs*N(hz)。

最后

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