Introduction

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弧微分

  设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数,图形如图2.1中$\widehat{AB}$所示.

  $\frac{ds}{dx}=\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}=\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\ast \frac{|M{M}^{\prime }|}{\Delta x}=\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\ast \frac{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}{\Delta x}$

  因为${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}=1$

  所以${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\ast \frac{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}{\Delta x}=\frac{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}{\Delta x}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2}$

  总结得:$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2}=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$

  最终得:$ds=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2}dx=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

  使用参数方程表示时:
  $$\begin{gathered} \{\begin{array}{c} \\ x=X(t)\\ y=Y(t)\end{array} \end{gathered}$$

  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)=X^{\prime }(t)=x^{\prime }=\frac{dx}{dt}$

  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)=Y^{\prime }(t)=y^{\prime }=\frac{dy}{dt}$

  最终得:$ds=\sqrt{(X^{\prime }{)}^2+(Y^{\prime }{)}^2}dt$

弧长公式

  由弧微分公式可以推导出弧长的计算公式:
  1. 当使用一般形式 $y=f(x),s$表示方程走过的路径时，$s$是关于x的积分：

  ${\int }_a^{u}ds={\int }_a^u\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

  $s(u)={\int }_a^u\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

  2. 使用参数方程时，$s$是关于t的积分：

  $s(u)={\int }_a^u\sqrt{(X^{\prime }{)}^2+(Y^{\prime }{)}^2}dt$

  还有使用向量函数的表现形式，这里先不表。

曲率与曲率半径

曲率

  如图3.1所示，在一段弧线上,从点M开始,取距离为$\Delta s$, 切线转角为$\Delta \alpha$的位移到达$M^{\prime }$,则定义弧段$\Delta s$上的平均曲率$\overline{K}=|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$,定义在点M处的曲率为 $K={\lim }_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|=|\frac{d\alpha }{ds}|$。

  $\alpha =arctan(y^{\prime })$。

  $\frac{d\alpha }{dx}=(arctan(y^{\prime }){)}^{\prime }{y}^{\prime \prime }=\frac{y^{\prime \prime }}{1+(y^{\prime }{)}^2}$

  因为$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

  所以$d\alpha =\frac{y^{\prime \prime }}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}ds$,$K=|\frac{d\alpha }{ds}|=|\frac{y^{\prime \prime }}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}|$。

  使用参数方程表示时:

  $$\begin{gathered} \{\begin{array}{c} \\ x=X(t)\\ y=Y(t)\end{array} \end{gathered}$$

  $K=|\frac{d\alpha }{ds}|=|\frac{X^{\prime }{Y}^{\prime \prime }-X^{\prime \prime }{Y}^{\prime }}{((X^{\prime }{)}^2+(Y^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}|$
  过程参照：https://blog.csdn.net/buaazyp/article/details/82622972

曲率半径

  曲率的倒数就是曲率半径。

References

1. https://wenku.baidu.com/view/92af806c26d3240c844769eae009581b6bd9bdb5.html

2. https://baike.baidu.com/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87%E5%8D%8A%E5%BE%84/2036643

3. https://blog.csdn.net/buaazyp/article/details/82622972

最后

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