高等数学复习之三(微分中值定理与导数应用)

补2017.11.12日：-10

第一节 微分中值定理

》费马引理与驻点

旁白：如果以二次函数做比方，其几何意义就是二次函数曲线中的最高点和最低点，斜率为0，临域内的值要么始终不小于，要么始终不大于它，该点称之为函数的驻点。

》罗尔定理

旁白：很明显罗尔定理在费马引理的基础上进行了延伸，提供了驻点存在的证明手法，但是这个f(a)=f(b)的条件非常苛刻。

》拉格朗日中值定理（微分中值定理）

旁白：光这么看可能没感觉，书中的这幅图能加深理解。

看了这幅图，然后看上面那个等式，这个定理其实是罗尔定理的加强版，一定存在与AB两点相连线段斜率一致的点。而罗尔定理就是其中的一种情况，斜率为0.

》微分中值定理逆命题

》柯西中值定理

旁白：柯西中值定理很明显又是一个加强版，如果将y与x的函数，分解为参数函数y=f(t),x=f(t)。那么拉格朗日中值定理就会演变成柯西中值定理。

补2017.11.14日：-9

第二节 洛必达法则

》未定式
还记得一脸懵逼的0/0,∞/∞么。

》洛必达法则

旁白：因此又多了一种求极限的手段，化成一脸懵逼的0/0或者∞/∞，然后用洛必达法则求极限。好吧，有点怕

补2017.11.16日：-7

第三节 泰勒公式

旁白：这节有点难，容我慢慢道来。

》公式由来

旁白：还记得微分一节中我们通过微分可以进行误差估计吗？△y=A*△x+o(△x),这里△x的高阶无穷小就是误差，但是其实还能细分，o(△x)可能包括1阶2阶3阶….n阶无穷小，如果要求误差精确到n阶无穷小，那么就不能采用微分的估计方式了，必须采用高次多项式来表达。

》公式提出

旁白：就是对于f(x)进行估计的时候，提出一个函数p(x),要求f(x)与p(x)的差距是△x的(n+1)阶无穷小，这时候就能保证误差精度在n阶无穷小以内,令△x=x-x0

》推导公式

根据以上规则f(x)=p(x)+o((x-x0)^n),所以f(x)的n阶以内的导数在x=x0时，都跟p(x)的相等(高阶的都为0)

》泰勒中值定理

旁白：看懂了上面的推导公式，再看泰勒中值定理的证明就不难了，主要重复利用柯西中值定理以及Rn(x)的n阶导数在x0处都为0的特性。

》泰勒公式误差估计

》另一种表示方法：佩亚诺余项

》简化公式：麦克劳林公式

旁白：公式太复杂，要自己动手算算才行。看完它今天都没想法看数学了囧

补2017.11.18日：-5

第四节 函数单调性与曲线凹凸性

旁白：看完上一节再来看这一节就比较轻松了，呼呼

》一阶导数与单调性

》二阶导数与凹凸性

旁白：这个也好理解，前面探讨过的瞬时速度就是路程s关于时间t的一阶导数，速度正负决定了s接下来是变大还是变小，反映在图上就是曲线会上升还是下降也就是增或减。而速度v关于t的一阶导数，也就是路程s关于t的二阶导数，反映了速度接下来是上升还是下降，速度上升，路程s会更加快速上升，反应在图上就是凹陷的。

》拐点
当曲线经过某点时其凹凸性发生变化，那么该点称之为拐点。

旁白：很明显拐点出现的时候二阶导数一定为0，先求二阶导数为0的时候，然后再来求左边和右边的凹凸性即可。

补2017.11.19日：-3

第五节 函数极值与最值

》极值

旁白：极值说简单点，就是某一狭小区域里的最值。但是对于整个大区域，该极值不一定是最值。

》极值点定理1

旁白：这里强调是必要条件，说明光靠导数为0还不能证明是极值点，因为曲线有可能是递减或者递增的，只不过凹凸性发生了变化。

》极值点定理2

》极值点定理3

补2017.11.21日：-10

第六节 函数图形的描绘

》利用导数描绘图形

旁白：这节没有什么可聊，就是利用导数来画函数曲线

补2017.11.23日：-14

第七节 曲率

第八节 方程的近似解

这两节看着好没兴趣，先丢一边

最后

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