Eigen之矩阵基本操作

开篇介绍

在实际应用中，当要进行姿态解算时，必不可少的便是矩阵操作，这里我们引入Eigen这一矩阵操作库。Eigen是一个C++开源线性代数库，它提供了快速的有关矩阵的线性代数运算，还包括解方程等功能。本博客通过一些实例应用，演示Eigen下矩阵逆运算、伴随矩阵运算、行列式计算和特征值、特征向量的计算等等。

一、旋转矩阵

我们知道向量的内积可以描述向量之间的投影关系，而向量的外积，能表示向量的旋转。在欧氏变换中，首先来考虑旋转。我们设某个单位正交基$(e_1,e_2,e_3)$经过一次旋转，变成了$(e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},e_3^{{}^{\prime }})$。那么，对于同一个向量a，它在两个坐标系下的坐标为$[a_1,a_2,a_3{]}^T$和$[a_1^{{}^{\prime }},a_2^{{}^{\prime }},a_3^{{}^{\prime }}{]}^T$。根据坐标的定义，有：$$\left[e_1,e_2,e_3\right][a_1,a_2,a_3{]}^T=[e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},e_3^{{}^{\prime }}][a_1^{{}^{\prime }},a_2^{{}^{\prime }},a_3^{{}^{\prime }}{]}^T$$
为了描述两个坐标之间的关系，对上面等式左右同时左乘$[e_1^T,e_2^T,e_3^T{]}^T$，那么左边的系数变成了单位矩阵，所以：$$[a_1,a_2,a_3{]}^T=\left[\begin{array}{ccc}{e}_1^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_1^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_1^T{e}_3^{{}^{\prime }}\\ e_2^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_2^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_2^T{e}_3^{{}^{\prime }}\\ e_3^T{e}_1^{{}^{\prime }}& e_3^T{e}_2^{{}^{\prime }}& e_3^T{e}_3^{{}^{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1^{{}^{\prime }}\\ a_2^{{}^{\prime }}\\ a_3^{{}^{\prime }}\end{array}\right]\triangleq R{a}^{{}^{\prime }}$$
我们把中间阵拿出来，定义成一个矩阵R。这个矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的，那么这个矩阵也是一样的。可以说，矩阵R描述了旋转本身。因此它又称为旋转矩阵。
旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。所以，我们可以把旋转矩阵的集合定义如下：
$$SO(n)=\left\{R\in {\mathrm{R}}^{n\times n}|R{R}^T=I,det(R)=1\right\}$$
SO(n)是特殊正交群。这个集合由n维空间的旋转矩阵组成，特别的，SO(3)就是三维空间的旋转。通过旋转矩阵，我们可以直接谈论两个坐标系之间的旋转变换，而不用再从基开始谈起了。换句话说，旋转矩阵可以描述相机的旋转。
由于旋转矩阵为正交阵，它的逆描述了一个相反的旋转。按照上面的定义方式，有：
$$a^{{}^{\prime }}=R^{-1}a=R^{T}a$$
然而，在欧氏变换中，除了旋转之外还有一个平移。考虑世界坐标系中的向量a，经过一次旋转(用R描述)和一次平移t后，得到了$a^{{}^{\prime }}$，那么把旋转和平移合到一起，有$$a^{{}^{\prime }}=Ra+t$$
其中t为平移向量。

二、变换矩阵

旋转矩阵完整的表达了欧氏空间的平移和旋转，但是还存在一个小问题：这里的变换关系不是一个线性关系。假设进行了两次变换：$R_1,t_1$和$R_2,t_2$，满足：$$b=R_{1}a+t_1,c=R_{2}b+t_2$$
但是从a到c的变换为：$$c=R_2(R_{1}a+t_1)+t_2$$
这样的形式在变换多次后会显得过于复杂。因此我们要引入齐次坐标和变换矩阵重写旋转矩阵的变换等式：$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \mathbf{t}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ 1\end{array}\right]\triangleq T\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ 1\end{array}\right]$$
这是一个数学技巧：我们把一个三维向量末尾添加1，变成了四维向量，称为齐次坐标。对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成了线性关系。该式中，矩阵T称为变换矩阵。同样地，根据分块矩阵求逆的方法，我们可以轻易的求出变换矩阵的逆：$${\mathbf{T}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}^T& {-\mathbf{R}}^{T}t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$

三、Eigen实践

在清楚了旋转矩阵和变换矩阵后，我们可以在Kdevelop上尝试着操作矩阵。
点击构建后直接执行，在调试窗口显示打印结果如下：

四、总结

在初步实践了Eigen的矩阵操作后，我们很容易便求得了想要矩阵的一些特征，以及一些矩阵运算，这一切都为后续的姿态解算和后端处理提供坚实基础。

最后

以上就是忧虑灯泡为你收集整理的Eigen之矩阵基本操作的全部内容，希望文章能够帮你解决Eigen之矩阵基本操作所遇到的程序开发问题。

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