空间坐标乘旋转矩阵_单应矩阵的推导与理解

〇 、单应矩阵介绍

单应矩阵

(Homography)，约束了同一 3D 空间点在两个像素平面的 2D 齐次坐标。

展开：

正比于符号

可以理解为单应矩阵

约束了

和

的方向是同方向，而不约束尺度。可通过

因为

和

同方向，所以其叉乘结果为

向量。

依据推导可得，单应矩阵 H 由两相机旋转和平移信息

，两相机内参矩阵

，平面参数组成

：

下面给出上述单应矩阵公式的推导和理解过程。

一、基本设定

1. 相机系坐标

3D 空间点在相机系下的坐标

为：

2. 像素系坐标

相机系坐标投影到像素系的齐次坐标：

其中：

• 为像素系齐次坐标；
• 为相机内参矩阵：
  。

3. 平面参数

3D 空间点

所在的平面在相机系下的平面参数为：

其中：

• 为平面法向量；
• 相机系原点到平面距离。

3D 空间点

位于平面

上由以下方程表达：

二、平面参数：由像素系计算相机系

1. 由像素系坐标计算相机系坐标：

由于存在未知的深度

，因此无法由像素系计算出相机系坐标。

2. 平面参数计算深度

结合(1.4)(2.1)得：

整理得：

可见：通过 3D 点所在平面参数和像素系坐标

可以计算出 3D 点的深度

。

结合(2.1)(2.4)得：

可知，加入平面信息

后，可完全由像素坐标还原出相机系坐标。

三、单应矩阵：由像素系 a 计算像素系 b

1. 由 a 系像素计算 b 系像素

有相机系 a 下的点

和 相机系 b 下的点

：

其中：

• 表示：1. b 系下 a 系的姿态。2. a 系到 b 系的坐标旋转变换；
• 表示：1. b 系下 a 系的位置。2. a 系到 b 系的坐标平移变换。

转到对应像素系，有关系：

可得到，由 a 系像素表达的 b 系像素：

但是存在未知数

，所以无法直接通过 a 系像素得到 b 系像素。

2. 加入平面参数

结合(2.4)(3.4)

上面推导用到的理论：

2. 齐次坐标与系数无关，因此可省去

可见，加入 3D 点的平面参数后，可由 a 系下像素坐标完全计算出对应的 b 系下像素坐标。

3. 定义单应矩阵

符号简化：

其中

为由像素系 a 到像素系 b 的

单应矩阵包含了相机内参矩阵

、旋转

、平移

和平面参数

信息。引入单应矩阵后，可以直接通过 a 系像素得到 b 系像素。

四、求解单应矩阵

(3.7)给出的单应矩阵的定义是通过旋转平移信息计算的，现实中有时不知道旋转平移信息，而知道两张图像中的匹配点，可以由匹配点计算出单应矩阵。

对于图片上的一对匹配点有如下关系：

展开得：

1. 单应矩阵有 8 个未知数

因为转换的是齐次坐标，所以单应矩阵

与尺度无关，也即

与

的作用是相同的，因此自由度为 8，使用

来进行归一化。

故

共 8 个未知数，需要 8 个方程来解。

2. 一对匹配点提供 2 个方程

由于是齐次坐标，所以展开是这种形式：

3. 四对匹配点提供 8 个方程

解此线性方程组，可得 单应矩阵

。