概述
什么是单应性？
图像中的2D点 (x,y) 可以被表示成3D向量的形式 (x1,x2,x3) ，其中 x=x1/x3 ， y=x2/x3 。它被叫做点的齐次表达，位于投影平面 P2 上。所谓单应就是发生在投影平面 P2 上的点和线可逆的映射。其它叫法包括射影变换、投影变换和平面投影变换等。
单应变换矩阵是一个3*3的矩阵H。这个变换可以被任意乘上一个非零常数，而不改变变换本身。所以它虽然具有9个元素，但是具有8个自由度。这意味这它里面有8个未知参数待求。
典型地，可以通过图像之间的特征匹配来估计单应矩阵。
和其它几何变换的比较
更好地理解单应变换，可将它与其它几何变换做比较。单应变换具有8个自由度，其它一些更简单的变换也是3*3矩阵，只不过它们包含一些特定的约束来降低自由度的数量。
从紧约束至松约束，逐步接近单应变换，下面展示了这些变换的层级，以及展示把单应变换分解成简单变换的集合。
刚体变换
它是保持欧式距离的变换，这意味着图像之间只有2D旋转和2D平移运动。它只有3个自由度。刚体变换表示如下：
其中
R
是个2*2的旋转矩阵，
相似变换
相比刚体变换增加了均匀的缩放。均匀的意思是各个方向的缩放比例相同。尺度变换增加了一个自由度，所以自由度为4。和刚体一样，具有保角性。点之间的距离不再保持不变，但距离比保持不变。相似变换表示如下：
其中 s 是缩放尺度。
仿射变换
仿射变换和相似变换近似，不同之处在于：相似变换具有单一旋转因子和单一的缩放因子，而仿射变换是两个旋转因子和两个缩放因子的组合。所以它又多了两个自由度，共6个自由度。和相似变换不同，它不具有保角性和保持距离比的性质。尽管如此，它仍具有“保持平行”的特性，即原图的平行线，变换后仍是平行线。仿射变换表示如下：
其中 A 是2*2的非奇异矩阵。
其中 R(θ)、R(ϕ) 是旋转矩阵， D 是对角矩阵：
其中， λ1 ， λ2 可被认为是两个方向的缩放比例值。
所以，
A
可以看作是这样一个变换过程：先旋转
投影变换
千呼万唤始出来，终于到了投影变换，或者叫做单应变换。投影变换是齐次坐标下非奇异的线性变换。然而在非齐次坐标系下却是非线性的，这说明齐次坐标的发明是很有价值的。投影变换比仿射变换多2个自由度，具有8个自由度。上面提到的仿射变换具有的“不变”性质，在投影变换中已不复存在了。尽管如此，它还是有一项不变性，那就是在原图中保持共线的3个点，变换后仍旧共线。投影变换表示如下：
其中 V=(v1,v2)T 。
仿射变换和投影变换不同的关键点在于向量
V
，在仿射变换中它是空的。这个向量在投影变换中施加非线性的影响。在仿射中，
将投影变换矩阵分解为以上提到的变换的链。
其中，
HS
是一个相似变换，
HA
是一个仿射变换，
HP
是一个投影变换，
A=sRU+tVT
，
U
是一个上三角矩阵，而且经过归一化
透视变换
到此为止，我们已经领教了2D到2D的变换。另外一个受到广泛研究的变换是透视变换，它描述了将空间3D点投影成2D点的变换。这种投影发生于这种情形：相机拍摄真实世界多幅图像，然后将结果显示在一副图像平面上。
在齐次坐标下，透视投影被表示为一个3*4的相机矩阵P，如下：
其中
x
是一个图像点，被表示为齐次的3维向量。
相机矩阵
P
有11个自由度，3*4矩阵有12个元素，最后一个元素值的缩放，不改变变换本身。这些自由度，或者叫参数，可分为两类：5个内参和6个外参。这5个相机参数经常被表示为矩阵
这里
αx
，
αy
代表相机的焦距长度，它是一个相对值，跟
x
和
6个外参跟相机在世界坐标系下的方位有关，包含3个旋转因子（表示为3*3矩阵R），和3个平移因子（表示为一个3维向量）。因此，相机矩阵P可被表示为：
Hartley和Zisserman指出，为了降低自由度，可对相机模型做一些假设。比如假设相机像素是方形的，因此
x
和
在相机标定的应用中，比如使用张正友标定法标定相机，
最后
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