抛物线的中点Bresenham算法

1 抛物线的特征

通常定义抛物线为到一条直线（准线）和直线外一点（焦点）距离相等的点的集合。这里只讨论顶点为原点，沿纵坐标轴对称且开口向上的情况。而对于其他情况可以通过图形的平移和旋转等线性变换得到。其描述方程如下：
$$F(x,y)=y-a{x}^2(a>0)$$
与椭圆不同，抛物线是无边界的非封闭图形，若要在屏幕上绘制，必须给定坐标范围，以绘制指定抛物线的一个片段。可以在函数中设置参数$x\_border$ ，则横坐标约束其范围为$[-x\_border,x\_border]$。

抛物线关于纵坐标轴对称，故只需绘制其第一象限内的点，第二象限中的点可以通过对称得到。

为确定最大位移方向，考虑抛物线的斜率范围。在第一象限，其上一点$(x,y)$处的斜率为：
$$k(x)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2ax\in [0,+\infty )$$
又由于斜率的变化率为：
$$\frac{dk(x)}{dx}=\frac{d(2ax)}{dx}=2a>0$$
所以在第一象限内，抛物线斜率从0开始随$x$递增至正无穷。用斜率为1的点对图形进行划分。容易解出，当斜率为1时，$x=\frac{1}{2a}$。只需沿$x$轴绘制图形，其中$0<x<\frac{1}{2a}$时，最大位移方向为$x$方向；$\frac{1}{2a}\le x<x\_border$时，最大位移方向为$y$方向。

2 算法推导过程

假定当前与抛物线距离最近者已确定为$P(x_i,y_i)$,那么在抛物线前部分时，下一候选点是$P_d(x_i+1,y_i)$和$P_u(x_i+1,y_i+1)$;而在抛物线的后半部分时，下一候选点是$P_l(x_i,y_i+1)$和$P_r(x_i+1,y_i+1)$ 。如何选用候选点仍然使用中点进行判别。

2.1 推导前半部分的抛物线绘制公式

对于$0<x<\frac{1}{2a}$，构造判别式
$$d_{li}=F(x_i+1,y_i+0.5)=y_i+0.5-a{(x_i+1)}^2$$

若$d_{li}\ge 0$，中点在抛物线上方，应取正右方候选点$P_d(x_i+1,y_i)$；反之，中点在抛物线下方，应取右上方候选点$P_u(x_i+1,y_i+1)$。
前半部分误差项的递推。
在$d_{li}\ge 0$时，应计算：
$$\begin{array}{rlr}{d}_{l(i+1)}& =F(x_i+2,y_i+0.5)& \\ & =y_i+0.5-a{(x_i+2)}^2& \\ & =d_{li}+a[{(x_i+1)}^2-{(x_i+2)}^2]& \\ & =d_{li}-2a{x}_i-3a& \end{array}$$
在$d_{li}<0$时，应计算：
$$\begin{array}{rl}{d}_{l(i+1)}& =F(x_i+2,y_i+1.5)\\ & =y_i+1.5-a{(x_i+2)}^2\\ & =d_{li}-2a{x}_i-3a+1\end{array}$$
计算判别式的初始值。弧起点为$(0,0)$，因此第一个中点为$(1,0.5)$，对应的判别式为：
$$d_{l0}=y_0+0.5-a{(x_0+1)}^2=0.5-a$$

2.2 推导后半部分的抛物线绘制公式

对于$\frac{1}{2a}\le x<x\_border$，构造判别式
$$d_{ri}=F(x_i+0.5,y_i+1)=y_i+1-a{(x_i+0.5)}^2$$
若$d_{ri}\le 0$，中点在抛物线（左）上方，应取正上方候选点$P_l(x_i,y_i+1)$；反之，中点在抛物线（右）下方，应取右上方候选点$P_r(x_i+1,y_i+1)$。

后半部分误差项的递推。

在$d_{ri}\le 0$时，应计算：
$$\begin{array}{rl}{d}_{r(i+1)}& =F(x_i+0.5,y_i+2)\\ & =y_i+2-a{(x_i+0.5)}^2\\ & =d_{ri}+1\end{array}$$
在$d_{ri}>0$时，应计算：
$$\begin{array}{rl}{d}_{r(i+1)}& =F(x_i+1.5,y_i+2)\\ & =y_i+2-a{(x_i+1.5)}^2\\ & =d_{ri}+1+a[{(x_i+0.5)}^2-{(x_i+1.5)}^2]\\ & =d_{ri}-2a{x}_i-2a+1\end{array}$$
计算判别式的初始值。弧起点的横坐标为$\lceil \frac{1}{2a}\rceil$，对应的判别式为：
$$\begin{array}{rl}{d}_{r0}& =y_0+1-a{(x_0+0.5)}^2\\ & =y_0+1-a{x}_0^2-a{x}_0-0.25a\\ & =1-a{x}_0-0.25a\\ & =1-a\lceil \frac{1}{2a}\rceil -0.25a\end{array}$$

3 算法的伪代码

中点Bresenham算法绘制抛物线函数($a$值，边界值$x\_border$):

计算分界点div=0.5/a;
初始化:
    前半部分判别式初始值: d_pre = 0.5 - a;
    后半部分判别式初始值: d_post = 1 - a * ceil(div) - 0.25 * a
    x=x0, y=y0;
当x<x_border循环执行:
    绘制点(x, y)和(-x, y)
    若x<div:
        计算增量tmp = -2 * a * x - 3 * a;
        x ++;
        如果d_pre < 0:
            y ++;
            d_pre += tmp + 1;
        否则:
            d_pre += tmp;
    否则:
        计算增量tmp = -2 * a * x - 2 * a + 1;
        y ++;
        如果d_post >= 0:
            x ++;
            d_post += tmp;
        否则:
            d_post += 1;

4 一些注意事项

1. 为了使运行结果更利于观察，可以将画布网格化，产生离散的可选点集。设grid_size为网格的间距，将可选点的横纵坐标限制为grid_size的整数倍。
2. 注意在算法中计算增量tmp的步骤一定要在x++与y++之前。因为tmp的计算是基于上一步骤中的点的。
3. 此算法涉及到了很多浮点数运算与取整运算，可能导致算法效率不高。在实际应用时，可以用 替换 ，以消除初始化时的复杂运算。

5 运行结果示例

以下是基于C++和OpenGL编写的，使用参数值为grid_size=0.01，a=0.01，x_border=100的实例的运行结果。

附录：源代码

#define GLUT_DISABLE_ATEXIT_HACK
#include <windows.h>
#include <GL/glut.h>
#include <cmath>
using namespace std;

const float grid_size = 0.01f;

void paracurve_midpoint_bresenham(float a, int x_border) {
    float div = 0.5 / a;
    int x = 0, y = 0;
    float d_pre = 0.5 - a;
    float d_post = 1 - a * ceil(div) - 0.25 * a;
    glPointSize(3.0f);
    glBegin(GL_POINTS);
    while (x <= x_border) {
        glVertex2f(x * grid_size, y * grid_size);
        glVertex2f(-x * grid_size, y * grid_size);
        if (x < div) {
            float tmp = -2 * a * x - 3 * a;
            x ++;
            if (d_pre < 0) {
                y ++;
                d_pre += tmp + 1;
            } else {
                d_pre += tmp;
            }
        } else {
            float tmp = -2 * a * x - 2 * a + 1;
            y ++;
            if (d_post >= 0) {
                x ++;
                d_post += tmp;
            } else {
                d_post += 1;
            }
        }
    }
    glEnd();
}

void reDisplay() {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glColor3f(0.0f, 1.0f, 0.0f);
    paracurve_midpoint_bresenham(0.01, 100);
    glFlush();
}

int main(int argc, char**argv) {
    glutInit(&argc, argv);
    glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
    glutInitWindowSize(500, 500);
    glutInitWindowPosition(100, 100);
    glutCreateWindow("Basic Graphic Generation Algorithm");
    glutDisplayFunc(&reDisplay);
    glutMainLoop();
}

最后

以上就是拼搏魔镜最近收集整理的关于抛物线的中点Bresenham算法的全部内容，更多相关抛物线内容请搜索靠谱客的其他文章。