冲激函数的性质

电路对于单位冲激函数的激励的零状态响应称为单位冲激响应。

单位冲激函数也是一种奇异函数，可定义为

单位冲激函数又称为δ函数。它在t≠0处为0，但在t=0处为奇异的。

单位冲激函数δ(t)可以看作是单位脉冲函数的极限情况。图1-a为一个单位矩形脉冲函数p(t)的波形。它的高为，宽为，保持矩形面积不变的情况下，它的宽度越来越窄时，它的高度越来越大。当脉冲宽度时，脉冲高度，在此情况下，可以得到一个宽度趋于零，幅度区域无穷大的面积仍为1的脉冲，这就是单位冲激函数δ(t)，可记为

 单位冲激函数的波形如图1-b所示，有时在箭头旁边注明“1”。强度为k的冲激函数可用图1-c表示，此时箭头旁边应注明“K”。

 图1

         同在时间上延迟出现的单位阶跃函数一样，可以把发生在t=t0时的单位冲激函数写为δ(t-t0)，还可以用Kδ(t-t0)表示一个强度为K，发生在t0时刻的冲激函数。

        冲激函数有如下两个主要性质：

        （1）单位冲激函数δ(t)对时间的积分等于单位阶跃函数(t)，即

反之，阶跃函数(t)对时间的一阶导数等于冲激函数δ(t)，即

        （2）单位冲激函数的“筛分”性质

        由于当t≠0时，δ(t)=0,所以对任意在t=0时连续的函数f(t) ，将有

因此

同理，对于任意一个t=t0时连续的函数f(t),有

这就是说，冲激函数有把一个函数在某一时刻的值“筛”出来的本领，所以称为“筛分”性质，又称取样性质。

 ——转自电路第5版邱关源p173

最后

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