【离散数学】集合与集合的运算

集合是现代数学最基本的概念，运算的本质就是集合。

集合、映射、运算和关系是贯穿于离散数学的一条主线，它们可使离散数学不”离散“。

集合的定义：集合（set），具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体，其中的每一个对象被称为改集合的元素（element）。

常见的数的集合（数集，用黑正体字母表示）

表示集合有以下几种方法：

（1）列举法：将集合中的元素按一定的顺序列举出来；

（2）描述法：把集合中元素满足的条件描述出来即可；

（3）迭代法：又称归纳法，首先给定这个集合的初始元素，再给出由集合中一直元素构成其他元素的方法，最后有限次使用前面的步骤得到的元素是集合中仅有的元素。

*迭代法可以类比数列中的递推公式，可以抽象的描述数列，同时一个集合也可以作为另一个集合的元素，他们之间的关系是属于，而不是子集的关系。

*不含任何元素的集合被称为空集，记作，考虑集合问题的时候应该首先考虑空集问题。

子集：（一般来说，集合的子集都比自身要“小”一些）给定两个集合A和B，若A中的任意元素都属于B，则称A是B的子集，或称A包含在B中，或称B包含A，记作。

关于子集，存在以下定理：

*空集是任何集合的子集，即。

*若且，则称集合A与集合B相等，记作。

*；

*若且，则；

集合相等的充要条件根据集合相等的定义给出。

*真子集：若且，则称A是B的真子集，记作。

幂集：给定集合X，由X的所有子集组成的集合称为X的幂集，记作P(X)，即

*若card(X)=n，那么card(P(X))=2^n，其中card(X)表示X集合中元素的个数。

元组：（简单理解可以理解为一个不可更改的集合）将从论域U中选取的n个元素x1,x2,...,xn按照一定顺序排列，就得到一个n元有序组，n元组可以简称为元组。

例：线性代数中的n维向量是n元组。在数据结构中，n元组可以是一个线性表、栈或者队列。

*通常把二元组称作为有序对。

笛卡尔积：设A1,A2,...,An是集合，称集合{(x1,x2,...,xn)|}为这些集合的笛卡尔积、直积或叉积，记作。

*若card(A)=m，card(B)=n，则存在。

最后

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