关于矩形窗函数DFT和FFT的笔记

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我是靠谱客的博主酷炫灰狼，最近开发中收集的这篇文章主要介绍关于矩形窗函数DFT和FFT的笔记，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

一直想写这个程序，今日终于如尝所愿，非常开心！
矩形窗函数的FT是个什么样子呢？
1、先从理论上分析一下，如图所示（贼简单）： 在这里插入图片描述
我们在二维坐标系里只能画出信号的幅度谱 |F(w)| ，那么矩形窗的幅度谱是啥形状呢？（本科的时候快把Sa函数的图画烂了）：

这时，我想啊，如果是它的时移信号呢？根据FT的时移性质很容易得到：
但是在画幅度谱时，是要对信号的FT求模滴！所以，幅度谱不会包含时移信息，而是时移信息包含在信号的相位谱中。因此无论时域信号怎么平移，频域的幅度谱时不变的。
到这里就清楚了，只要是矩形窗函数形状的信号，它的FT都是长一样的，都是Sa函数的形状。
2、从实际中分析一下
于是乎，我就写了第一个程序，计算 x(n)=1 （n=0,1,……,N-1），的DFT：

N=16;           % 窗函数长度
x=rectwin(N);   % 产生0到（N-1）的矩形窗函数
n=0:N-1;        % 离散时间变量
X=zeros(1,N);   % 用于储存FT值
subplot(311);stem(n,x,'.'),grid on
xlabel('n'),ylabel('x(n)'),title('原始信号');

for k=0:N-1 % 计算DFT
   for n=0:N-1	 % MATLAB的下表索引从1开始，所以为了得到正确的结果要进行处理
      X(k+1)=X(k+1)+x(n+1)*exp(-1i*2*pi*n*k/N);
   end
end
k=0:N-1;
subplot(312),stem(k,abs(X),'.');grid on
xlabel('k'),ylabel('X(k)'),title('DFT');

y=fft(x,N); % 计算FFT，验证上面的DFT算法
subplot(313);stem(k,abs(y),'.');grid on
xlabel('k');ylabel('X(k)');title('FFT');

结果如下： 在这里插入图片描述
我在这里遇到了一个很大的坑，为什么只有在零点的值是对的，说好的Sa函数呢？FFT和DFT计算结果是一样的，说明我的程序没错啊，但是结果为什么不对？我又手算了一下，结果是一样的，通过欧拉公式很容易证明下面的结论：在这里插入图片描述
这时，我想到了一个问题，FFT或者DFT认为，在没有信号的位置是信号的周期延拓，这样频域的信号才能被离散化，才能用计算机表示。所以在上述程序中，是信号 x(n) 的定义出现了问题。不光需要定义值为1的位置，还需要定义值为0的位置，不然经过周期延拓后，上述程序实际求的是常数1的DFT，当然是一个只有在零点有值的频谱。
3、正确的程序
于是我又写了第二个程序：

fs=1;   	  % Sampling Frequency
ts=1/fs;   	 % Sampling Time
N=16;    	  % Sampling points
L=N*ts;    	 % Length of Signal
t=(0:N-1)*ts;   % Time Vector
t0=0; t1=10;    % t1-t0 为脉宽
X=zeros(1,N);   % 用于储存FT值

ut1=stepfun(t,t0);		% 产生阶跃函数
ut2=stepfun(t,t1);
x=ut1-ut2; 		% 产生0-9的窗函数
subplot(311);
stem(t,x);grid on
xlabel('n'),ylabel('x(n)'),title('原始信号');

for k=0:N-1 		% 计算DFT
   for n=0:N-1  		% MATLAB的下表索引从1开始，所以为了得到正确的结果要进行处理
      X(k+1)=X(k+1)+x(n+1)*exp(-1i*2*pi*n*k/N);
   end
end
k=0:N-1;
subplot(312),stem(k,abs(X),'.');grid on
xlabel('k'),ylabel('X(k)'),title('DFT');

Uw=fft(x,N);
subplot(313);
stem(k,abs(Uw));grid on
xlabel('k');ylabel('X(k)');title('FFT');

结果如下： 在这里插入图片描述
可能画成连续的更好看一些：
终于写完了，结果与想象中的差不多，但是这波长得也忒难看了，为此我增加了采样点数，这样就好看多了。

4、顺便瞧一瞧脉宽对频谱的影响
a、采样点数N=256，脉宽为10，结果如下：
在这里插入图片描述
b、脉宽为50，结果如下：

c、脉宽为1，其实就成了冲激函数的DFT，结果如下：
可见，脉宽影响频谱能量的集中程度，脉宽越大，频谱越集中，极限是常函数的频谱，是在零点的一个冲激；脉宽越小，频谱越分散，极限是冲激函数的频谱，是一个白色频谱。
至此，理论与实际结果全部吻合，高兴高兴！