【离散数学】同余关系

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同余关系

运算上的同余关系：
设A=<S,*,Δ>是一个代数系统，~是载体S上的等价关系，任取a,b,c∈S。
(1)当a~b时，若Δa~Δb，则等价关系~在一元运算Δ下是可保持的，称~是关于运算Δ的同余关系。
(2)当a~b和c~d时，若有a*c~b*d，则等价关系~在二元运算*下是可保持的，称~是关于运算*的同余关系。
等价关系在运算下的可保持性是指参与运算的对应元素，如果在同一个等价类中，则运算后所得的结果也必在同一个等价类中。

代数系统上的同余关系：
设A=<S,*,Δ>是一个代数系统，~是载体S上的等价关系，若~在A上的所有运算下都是可保持的，则称~为代数系统A上的同余关系。 同余关系使得元素所在的等价类在运算上可以作为一个整体来看待。

定理：
设g是从代数系统A=<S,*,Δ,k>到A’=<S’,*’,Δ’,k’>的一个同态映射，如果在A上定义等价关系R为：<a,b>∈R，当且仅当g(a)=g(b)，则R是A上的一个同余关系。
证明：(i)若a~b,则g(a)=g(b)，Δ’g(a)=Δ’g(b)。又g是从A到A’的同态映射，所以有Δ’g(a)=g(Δa)=Δ’g(b)=g(Δb) 故Δa~Δb，这说明~在运算Δ下是可保持的。 (ii)若a~b且c~d,且有g(a)=g(b),g(c)=g(d),所以 g(a)*’g(c)=g(b)*’g(d),又因g是从A到A’的同态映射，所以有g(a)*’g(c)=g(a*c)=g(b)*’g(d)=g(b*d)，故a*c~b*d,这说明等价关系~在运算*下是可保持的。 由(i)(ii)可得，~是代数系统A上的同余关系。

最后

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