一、系统因果性与稳定性示例一

判断系统的 因果性 与 稳定性 :

$$y(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}x(n-k)$$

因果性 : " 离散时间系统 " $n$ 时刻 的 " 输出 " , 只取决于 $n$ 时刻 及 $n$ 时刻 之前 的 " 输入序列 " , 与 $n$ 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

由于 $k$ 的取值范围是 $[0,N-1]$ 区间 ,

$y(n)$ 与 $x(n),x(n-1),\cdots ,x(n-N+1)$ 有关 ;

也就是 $y(n)$ 只与$n$ 时刻以及 $n$ 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 ,

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果 $|x(n)|\le B$ , 是有界的 ,

则有 $|y(n)|\le \frac{1}{N}\times NB=B$ , 求和的结果也是有界的 ,

$\sum h(n)<\infty$ 就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

二、系统因果性与稳定性示例二

判断系统的 因果性 与 稳定性 :

$$y(n)=e^{x(n)}$$

因果性 : " 离散时间系统 " $n$ 时刻 的 " 输出 " , 只取决于 $n$ 时刻 及 $n$ 时刻 之前 的 " 输入序列 " , 与 $n$ 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

$y(n)$ 与 $x(n)$ 有关 ;

也就是 $y(n)$ 与 $n$ 时刻以及 $n$ 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 , 更准确的说是 只与 $n$ 时刻的 $x(n)$ 有关 ;

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果 $|x(n)|\le B$ , 是有界的 ,

则有 $|y(n)|\le e^B$ , 求和的结果也是有界的 ,

$\sum h(n)<\infty$ 就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

最后

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