线性时不变（LTI）系统线性时不变（LTI）系统

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我是靠谱客的博主完美音响，最近开发中收集的这篇文章主要介绍线性时不变（LTI）系统线性时不变（LTI）系统，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

线性时不变（LTI）系统

典型系统

线性系统：

线性系统是指同时满足叠加性与齐次性的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和;齐次性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。不满足叠加性和齐次性的系统即为非线性系统。

更加形象的表达就是

齐次性：任意 $x (t) ⟶ 系统 y (t)$ ,有 $a x (t) ⟶ 系统 a y (t) (\forall a ϵ R)$ 。
叠加性：任意 $x_1(t)overset{系统}{longrightarrow} y_1(t)\ x_2(t)overset{系统}{longrightarrow} y_2(t)\ ......\ x_n(t)overset{系统}{longrightarrow} y_n(t) end{matrix}right.$ ，有 $x_1+x_2+...+x_noverset{系统}{longrightarrow} y_1+y_2+...+y_n$ 。

一个系统同时满足①、②则它是线性系统，否则它是非线性系统。

连续系统	是否线性系统	离散系统	是否线性系统
$y (t) = a x (t)$	是	$y [n] = a x [n]$	是
$y (t) = t x (t)$	是	$y [n] = n x [n]$	是
$y ( t ) = d x ( t ) d t y(t)=frac{mathrm{d} x(t)}{mathrm{d} t}$	是	$y [n] = x [n] - x [n - 1]$	是
$y(t)=int_{-infty}^{t} x(tau )dtau$	是	$=sum_{k=-infty }^{n} xleft [ k right ]$	是
$y (t) = a x (t) + 1$	否	$y [n] = a x [n] + 1$	否
$y(t)=ax^2(t)$	否	$=ax^2left [ n right ]$	否
$y(t)=e^{x(t)}$	否
…		…

通过上表的例子，我们能整理出一个不那么严谨的判据：①、线性系统每一项都有 $x$ 。②、每一项的 $x$ 都是一次。

例如： $y [n] = n x [n - 2] + 3 x [n + 1]$ 、 $y (t) = 3 x (t) + 2 x (t - 2)$ 都是线性系统，而 $y (t) = 3 x (t) + 2$ 是非线性系统。

时不变系统：

时不变系统（time-invariant system）数学上可精确定义为在时间平移变换下保持形式不变的系统。

若 $\forall x (t) ⟶ 系统 y (t)$ ，则 $t_0epsilon R$ ，有 $x(t-t_0)overset{系统}{longrightarrow}y(t-t_0)$ 。满足这个条件，它是时不变系统，否则时变系统。

系统	是否时不变系统
$y (t) = x (t - 1)$	是
$y(t)=e^{ x(t+1) }$	是
$y (t) = x (2 t)$	否
$y (t) = t x (t)$	否
$y [n] = x [3 - n]$	否
…	…

判据：① $t$ 只在 $x$ 的括号里；② $t$ 只能是 $t$ ，不能是 $2 t$ 、 $- 2 t$ 、 $t^2$ 等其他函数。

因果系统：

因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统，也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻;因果系统，即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统，也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统，系统的这种特性称为因果特性，符合因果性的系统称为因果系统或非超，与之相对的有非因果系统和反因果系统。

系统	是否因果系统
$y (t) = x (t - 1)$	是
$y (t) = x (t + 1)$	否
$y (t) = x (2 t)$	否
$y [n] = x [3 - n]$	否
…	…

判据： $x$ 括号里的数恒小于 $y$ 括号里的数。

无记忆系统：

一个系统无记忆，是指 $y (t)$ 的值仅仅只依赖于 $x (t)$ 。

系统	是否无记忆系统
$x^2left ( t right ) + e^{x(t)}$	是
$y (t) = x (t - 1)$	否
$x^3left [ n right ]$	是
$y [n] = x [2 n]$	否
…	…

判据： $x$ 与 $y$ 括号里的数完全一样。

可逆系统：

如果一个系统在不同输入下，导致不同输出，那么该系统就是可逆的，在强调一遍是不同输入（输入一定要不同）导致不同输出。也就是说 $x (t)$ 与 $y (t)$ 一一对应的映射。

系统	是否可逆系统
$y (t) = x (t - 1)$	是
$y(t)=x^2(t)$	否
$y (t) = x (2 t)$	是
$=sum_{k=-infty }^{n} xleft [ k right ]$	是
$y(t)=int_{-infty}^{t} x(tau )dtau$	是
$y ( t ) = d x ( t ) d t y(t)=frac{mathrm{d} x(t)}{mathrm{d} t}$	否
…	…

判据：能不能有唯一反函数。

稳定系统：

如果一个系统的输入是有界的（即输入的幅度不是无界增长的），并且输出也有界，则该系统具有稳定性。对于 $x (t) ⟶ 系统 y (t)$ ，若 $x (t)$ 有界 $⟶$ $y (t)$ 有界。

系统	是否稳定系统
$y(t)=e^{x(t)}$	是
$y(t)=x^3(t)-2x^2(t)+x(t)+1$	是
$y ( t ) = d x ( t ) d t y(t)=frac{mathrm{d} x(t)}{mathrm{d} t}$	否
$y(t)=int_{-infty}^{t} x(tau )dtau$	否
$=sum_{k=-infty }^{n} xleft [ k right ]$	否
$y [n] = x [n] - x [n - 1]$	是
…	…