Chapter6.1：线性系统的校正方法

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

第六章：线性系统的校正方法

Example 6.1

设单位反馈的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}$，要求设计一串联校正网络，使校正后系统的开环增益$K=5$，相角裕度不低于$40°$，幅值裕度不小于$10\mathrm{dB}$.

解：

由题意可得，取$K=5$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{5}{s(s+1)(0.5s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime }(\omega )$所示.由图可知，待校正系统的截止频率为：${\omega }_c^{\prime }=2.15rad/s$，计算待校正系统的相角裕度。
   $${\gamma }^{\prime }={180°-90°-(\arctan {\omega }_c^{\prime }+\arctan 0.5{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=2.15}=-22.13°$$
   表明待校正系统不稳定.

   由于
   $${\phi }_m=\gamma -{\gamma }^{\prime }=40°+22.13°=62.13°>60°$$
   故考虑采用串联滞后校正.

2. 由要求的${\gamma }^{\prime \prime }$选择${\omega }_c^{\prime \prime }$。

   选取$\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=-6°$，要求${\gamma }^{\prime \prime }=40°$，有：${\gamma }^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })={\gamma }^{\prime \prime }-\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=46°$.

   由${\gamma }^{\prime }=90°-\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.5{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得已校正系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime \prime }=0.54rad/s$.

3. 确定滞后网络参数$b$和$T$.

   当${\omega }_c^{\prime \prime }=0.54rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=19.33\mathrm{dB}$；

   由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.11$。

   令$\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得：$T=168.35$。

   则有串联滞后校正网络对数幅频渐近特性曲线如下图$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+18.52s}{1+168.35s}$$
   已校正系统的对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{5(18.52s+1)}{s(s+1)(0.5s+1)(168.35s+1)}$$

4. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle G_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & ={90°+(\arctan 18.52{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.5{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 168.35{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=0.54}=41.44°>40°\end{array}$$
   再由$\angle G(\mathrm{j}{\omega }_x^{\prime \prime })=-180°$，求得已校正系统的穿越频率：${\omega }_x^{\prime \prime }=1.36rad/s$.

   故增益裕度为：
   $$h^{\prime \prime }(\mathrm{dB})=-20\lg |G_c(\mathrm{j}){\omega }_x^{\prime \prime }{G}_0(\mathrm{j}{\omega }_x^{\prime \prime })|=14.05\mathrm{dB}>10\mathrm{dB}$$
   满足性能要求.

5. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.2

设单位反馈开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.2s+1)}$，设计一串联校正装置，使系统满足$K_v=8，\gamma ({\omega }_c)=40°$，并比较校正前后的截止频率.

解：

由题意可得，取$K=K_v=8$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{8}{s(s+1)(0.2s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime }(\omega )$所示.由图可得，待校正系统的截止频率为：${\omega }_c^{\prime }=2.83rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan {\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=2.83}=-10.05°$$
   表明待校正系统不稳定，故考虑采用串联滞后校正.

2. 由要求的${\gamma }^{\prime \prime }$选择${\omega }_c^{\prime \prime }$。

   选取$\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=-6°$，要求${\gamma }^{\prime \prime }=40°$，则有：${\gamma }^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })={\gamma }^{\prime \prime }-\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=46°$.

   由${\gamma }^{\prime }=90°-\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得校正后系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime \prime }=0.72rad/s$.

3. 确定滞后网络参数$b$和$T$。

   当${\omega }_c^{\prime \prime }=0.72rad/s$时，由图可测得$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=20.92\mathrm{dB}$；

   再由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.09$。

   令$\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }$，求得：$T=154.32$。

   则串联滞后校正网络对数幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+13.89s}{1+154.32s}$$
   已校正后系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{8(13.89s+1)}{s(s+1)(0.2s+1)(154.32s+1)}$$

4. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle G_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & ={90°+(\arctan 13.89{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 154.32{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=0.72}=40.87°\end{array}$$
   满足性能指标要求.

   系统校正前的截止频率：${\omega }_c^{\prime }=2.83rad/s$，相角裕度：${\gamma }^{\prime }=-10.03°$，闭环系统不稳定；采用滞后校正后的截止频率：${\omega }_c^{\prime \prime }=0.72rad/s$，相角裕度：${\gamma }^{\prime \prime }=40.87°$，闭环系统稳定。表明了滞后校正是通过减小系统的截止频率来提高系统的相角裕度.

5. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.3

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}$，设计校正装置，使系统的静态速度误差系数$K_v=100$，相角裕度$\gamma \ge 40°$.

解：

由题意可得，取$K=K_v=100$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{100}{s(0.1s+1)(0.2s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime }(\omega )$所示，待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }=17.10rad/s$，计算待校正系统相角裕度：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=17.10}=-43.38°$$
   表明待校正系统不稳定，故考虑采用串联滞后校正.

2. 由要求的${\gamma }^{\prime \prime }$选择${\omega }_c^{\prime \prime }$。

   选取$\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=-6°$，要求${\gamma }^{\prime \prime }=40°$，则有：${\gamma }^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })={\gamma }^{\prime \prime }-\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=46°$.

   由${\gamma }^{\prime }=90°-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得校正后系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime \prime }=2.74rad/s$.

3. 确定滞后网络参数$b$和$T$。

   当${\omega }_c^{\prime \prime }=2.74rad/s$时，由图可测得$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=31.24\mathrm{dB}$；

   由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.0274$，取$b=0.03$。

   令$\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得：$T=121.65$。

   则串联滞后校正网络的对数幅频渐近特性如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+3.65s}{1+121.65s}$$
   已校正系统的开环对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{100(3.65s+1)}{s(0.1s+1)(0.2s+1)(121.65s+1)}$$

4. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle G_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & ={90°+(\arctan 3.65{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 121.65{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=2.74}=40.42°\end{array}$$
   满足性能指标要求。

5. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.4

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)}$，设计串联校正装置，使校正后系统的阻尼比：$\zeta =0.7$，调节时间为：$t_s=1.4(\Delta =5\%)$，速度误差系数：$K_v\ge 2$.

解：

令串联校正装置传递函数为：
$$G_c(s)=\frac{p(s+1)}{s+p}$$
校正后系统开环传递函数：
$$G(s)=G_0(s)G_c(s)=\frac{pK}{s(s+p)}$$
校正后系统闭环传递函数：
$$\Phi (s)=\frac{Kp}{s^2+ps+Kp}$$
则
$${\omega }_n=\sqrt{Kp}，2\zeta {\omega }_n=p$$
由校正后系统的调节时间：$t_s=1.4$，即：$\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}=1.4$；由校正后系统阻尼比为：$\zeta =0.7$，解得：${\omega }_n=3.57$。

由${\omega }_n=\sqrt{Kp}$和$2\zeta {\omega }_n=p$，解得：$p=5.0，K=2.55$。

由已校正系统的开环传递函数，可知：$K_v=K=2.55>2$，满足设计要求.

所以，串联校正装置传递函数为：
$$G_c(s)=\frac{5(s+1)}{s+5}$$

Example 6.5

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(0.05s+1)(0.2s+1)}$，设计串联校正装置，使系统的静态误差系数不小于$5$，超调量不大于$25\%$，调节时间不大于$1\mathrm{s}$.

解：

由题意，取$K=K_v=5$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{5}{s(0.05s+1)(0.2s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可得，待校正系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime }=5rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=5}=30.96°$$

2. 将$\sigma \%、t_s$转换为相应的频域指标。

   由
   $$\begin{array}{rl}& \sigma \%=[0.16+0.4(M_r-1)]\times 100\%\le 25\%\\ & \\ & t_s=\frac{K_0\pi }{{\omega }_c}\le 1，K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1{)}^2\end{array}$$
   求得：
   $$M_r\le 1.225，{\omega }_c\ge 7.74rad/s$$
   由$M_r=\frac{1}{\sin \gamma }$，解得：$\gamma \ge 54.72°$。

   由于${\omega }_c>{\omega }_c^{\prime }$，故考虑采用超前校正.

3. 确定超前网络参数$a$和$T$。

   选取${\omega }_c^{\prime \prime }=8rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=-8.16\mathrm{dB}$；

   由$10\lg a=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$a=6.55$。令$T=\frac{1}{{\omega }_c^{\prime \prime }\sqrt{a}}$，求得：$T=0.049$。

   串联超前校正网络的对数幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}=\frac{1+0.32s}{1+0.049s}$$
   将放大器增益提高$a$倍，校正后系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$a{G}_c(s)G_0(s)=\frac{5(0.32s+1)}{s(0.05s+1)(0.2s+1)(0.049s+1)}$$

4. 性能指标验算。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle a{G}_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & ={90°+(\arctan 0.32{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.2{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.049{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=8}\\ & \\ & =57.46°>54.72°\end{array}$$

5. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.6

设单位反馈系统的开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{K}{s(0.05s+1)(0.25s+1)(0.1s+1)}$，若要求校正后系统的开环增益不小于$12$，超调量小于$30\%$，调节时间小于$6s(\Delta =5\%)$，确定串联滞后校正装置的传递函数。

解：

由题意，取$K=12$，则待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{12}{s(0.05s+1)(0.25s+1)(0.1s+1)}$$

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统对数幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可得，待校正系统的截止频率：${\omega }_c^{\prime }=6.93rad/s$，计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.25{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=6.93}=-23.83°$$
   表明待校正系统不稳定.

2. 将$\sigma \%、t_s$转换为相应的频域指标。

   由
   $$\begin{array}{rl}& \sigma \%=[0.16+0.4(M_r-1)]\times 100\%<30\%\\ & \\ & t_s=\frac{K_0\pi }{{\omega }_c}<6，K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1{)}^2\end{array}$$
   解得：
   $$M_r<1.35，{\omega }_c>1.48rad/s$$
   由$M_r=\frac{1}{\sin \gamma }$，解得：$\gamma >47.79°$。

   由于${\gamma }^{\prime }<0$和${\omega }_c<{\omega }_c^{\prime }$，故考虑采用滞后校正。

3. 由要求的${\gamma }^{\prime \prime }$选择${\omega }_c^{\prime \prime }$。

   选取$\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=-6°$，要求$\gamma >47.79°$，选取${\gamma }^{\prime \prime }=48°$.有${\gamma }^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })={\gamma }^{\prime \prime }-\phi ({\omega }_c^{\prime \prime })=54°$.

   由
   $${\gamma }^{\prime \prime }=90°-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.25{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }\Rightarrow {\omega }_c^{\prime \prime }=1.59rad/s$$

4. 确定滞后网络参数$b$和$T$。

   当${\omega }_c^{\prime \prime }=1.59rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=17.56\mathrm{dB}$.由$20\lg b=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$b=0.1325$。

   令$\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }$，解得：$T=47.47$。

   则串联滞后校正网络对数幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}=\frac{1+6.29s}{1+47.47s}$$
   校正后系统开环对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G_c(s)G_0(s)=\frac{12(6.29s+1)}{s(0.05s+1)(0.25s+1)(0.1s+1)(47.47s+1)}$$

5. 验算性能指标。
   $$\begin{array}{rl}{\gamma }^{\prime \prime }& =180°+\angle G_c(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })G_0(\mathrm{j}{\omega }_c^{\prime \prime })\\ & \\ & =(90°+\arctan 6.29{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.25{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.1{\omega }_c^{\prime \prime }\\ & \\ & -{\arctan 47.47{\omega }_c^{\prime \prime })|}_{{\omega }_c^{\prime \prime }=1.59}=49.79°>47.79°\end{array}$$
   所以，各项性能指标均满足要求.

6. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.7

已知待校正系统开环传递函数为：$G_0(s)=\frac{10}{s(0.25s+1)(0.05s+1)}$,若要求校正后系统的谐振峰值：$M_r=1.4$,谐振频率：${\omega }_r>8$，确定校正装置.

解：

由校正后系统的谐振峰值要求：$M_r=1.4$和$M_r=\frac{1}{\sin \gamma }$，解得已校正系统的相角裕度为：$\gamma =45.58°$。

1. 绘制待校正系统的对数幅频渐近特性曲线。

   待校正系统的对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime }(\omega )$所示，由图可得，待校正系统的截止频率为：${\omega }_c^{\prime }=6.32rad/s$.计算待校正系统的相角裕度为：
   $${\gamma }^{\prime }={(180°-90°-\arctan 0.25{\omega }_c^{\prime }-\arctan 0.05{\omega }_c^{\prime })|}_{{\omega }_c^{\prime }=6.32}=14.79°<\gamma$$
   故考虑采用超前校正.

2. 确定超前网络参数$a$和$T$.

   取${\omega }_c^{\prime \prime }=9rad/s$时，由图可测得：$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=-6.13\mathrm{dB}$；由$10\lg a=-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })$，解得：$a=4.1$。

   令$T=\frac{1}{{\omega }_c^{\prime \prime }\sqrt{a}}$，求得：$T=0.056$。

   则串联超前校正网络的对数幅频渐近特性曲线如$L_c(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}=\frac{1+0.224s}{1+0.056s}$$
   将放大器增益提高$a$倍，已校正系统的开环对数幅频渐近特性曲线如$L^{\prime \prime }(\omega )$所示，其传递函数为：
   $$G(s)=\frac{10(0.224s+1)}{s(0.05s+1)(0.25s+1)(0.056s+1)}$$

3. 系统开环对数幅频渐近特性曲线。
   

Example 6.8

已知系统开环传递函数为：$G(s)=\frac{K}{s(1+0.5s)(1+0.1s)}$，设计$\mathrm{PID}$校正装置,使系统$K_v\ge 10，\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })\ge 50°$,且${\omega }_c^{\prime \prime }\ge 4$.

解：

令$K=K_v=10$，作校正系统如下图$L^{\prime }(\omega )$所示：

由图可知，${\omega }_c^{\prime }=4.47，\gamma ({\omega }_c^{\prime })\approx 0°$。

设$\mathrm{PID}$校正装置传递函数为：
$$G_c(s)=\frac{(1+{\tau }_{1}s)(1+{\tau }_{2}s)}{{\tau }_{1}s+1}=\frac{(1+s/{\omega }_1)(1+s/{\omega }_2)}{s/{\omega }_1}$$
则校正后系统频率特性为：
$$G(\mathrm{j}\omega )G_c(\mathrm{j}\omega )=\frac{K_1(1+\mathrm{j}\omega /{\omega }_1)(1+\mathrm{j}\omega /{\omega }_2)}{(\mathrm{j}\omega {)}^2(1+\mathrm{j}\omega /2)(1+\mathrm{j}\omega /10)}，K_1=K{\omega }_1$$
由于校正后为Ⅱ型系统，故$K_v$的要求肯定满足，系统开环增益可任选，由其他条件而定.

初选${\omega }_c^{\prime \prime }=4$。为降低系统阶次，选${\omega }_2=2$，并选${\omega }_1=0.4$，可得：
$$G(\mathrm{j}\omega )G_c(\mathrm{j}\omega )=\frac{K_1(1+\mathrm{j}\omega /0.4)}{(\mathrm{j}\omega {)}^2(1+\mathrm{j}\omega /10)}$$
其对应幅频特性应通过截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }=4$，故由近似式：
$$\frac{K_1{\omega }_c^{\prime \prime }/0.4}{({\omega }_c^{\prime \prime }{)}^2}=1\Rightarrow K_1=1.6，K=4$$
已校正系统开环幅频渐近特性曲线如下图$L^{\prime \prime }(\omega )$所示：

验算：
$$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })=\frac{\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }}{0.4}-\frac{\arctan {\omega }_c^{\prime \prime }}{10}=62.5°$$
全部满足设计指标要求.

Example 6.9

设具有反馈校正的系统结构图如下图所示，待校正对象的开环传递函数为：$G_0(s)=G_1(s)G_2(s)$，其中：$G_1(s)=\frac{K_1}{s(T_{1}s+1)}，K_1=100，T_1=1.1；G_2(s)=\frac{1}{T_{2}s+1}，T_2=0.025$。局部反馈校正装置的传递函数为$H(s)=0.25s$。绘制校正前后系统的对数幅频渐近特性，写出等效开环传递函数$G_k(s)$，并计算已校正系统的相角裕度$\gamma ({\omega }_c)$。

解：

待校正系统的传递函数为：
$$G_0(s)=\frac{100}{s(0.025s+1)(1.1s+1)}$$
待校正系统的开环幅频渐近特性曲线如下$L^{\prime }(\omega )$所示：

校正后内系统的等效开环传递函数为：
$$G_k(s)=\frac{G_1(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}=\frac{100}{s(0.0275s^2+1.125s+26)}$$
校正后系统的开环幅频渐近特性曲线如下$L^{\prime \prime }(\omega )$所示：

【开环幅频渐近特性曲线】

令$|G_k(\mathrm{j}{\omega }_c)|=1$，即
$$\left|\frac{10}{{\omega }_c\sqrt{(26-0.0275{\omega }_c^2{)}^2+(1.125{\omega }_c{)}^2}}\right|=1\Rightarrow {\omega }_c=3.85rad/s$$
校正后系统的相角裕度为：
$$\gamma ({\omega }_c)=90°-{\arctan \frac{1.125{\omega }_c}{26-0.0275{\omega }_c^2}|}_{{\omega }_c=3.85}=80.39°$$
【已校正系统的Bode图】

Example 6.10

设系统结构图如下图所示，要求采用串联校正和复合校正两种方法，消除系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差，分别确定串联校正装置$G_c(s)$与复合校正前馈装置$G_r(s)$的传递函数.

解：

【串联校正】

采用串联校正的结构图如图$\mathrm{b}$所示。

若使系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差为零，则应取：
$$G_c(s)=\frac{\tau s+1}{s}$$
同时，必须保证闭环系统稳定.

校正后系统的开环传递函数为：
$$G(s)=G_c(s)G_0(s)=\frac{K(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)}$$
则校正后闭环系统的特征方程为：
$$D(s)=T{s}^3+s^2+K\tau s+K=0$$
若使系统稳定，则由劳斯判据可知，有：
$$K\tau >KT\Rightarrow \tau >T$$
【复合前馈校正】

采用复合前馈校正的结构图如图$\mathrm{c}$所示。

由图可得：
$${\Phi }_{er}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1-\frac{K{G}_r(s)}{s(Ts+1)}}{1+\frac{K}{s(Ts+1)}}=\frac{s(Ts+1)-K{G}_r(s)}{s(Ts+1)+K}$$
由上式可知：当$K>0，T>0$时，闭环系统稳定；

当输入信号为斜坡输入信号时，系统的稳态误差为：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{s(Ts+1)-K{G}_r(s)}{s(Ts+1)+K}\cdot \frac{1}{s^2}=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{s(Ts+1)-K{G}_r(s)}{s[s(Ts+1)+K]}$$
若使$e_{ss}(\infty )=0$，则有：
$$1-\underset{s\to 0}{\lim }\frac{K{G}_r(s)}{s}=0\Rightarrow G_r(s)=\frac{s}{K}$$

最后

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