概述
扩张状态观测器简介
- 1. 系统模型
- 2. 增广状态空间的建立
- 3. 扩张状态观测器的建立
- 4. 重构柯西方程组
由于这两天经常用到关于观测器的一些东西，于是看到了这个“扩张状态观测器”，Extended State Obsever，简称ESO。
扩张状态观测器是把系统中的不确定项或者干扰视为系统中的 状态之一，建立新的状态空间（也就是 扩张状态空间或者叫 增广状态空间），对这个空间中的状态进行观测，即可得到不确定项的 估计值。
1. 系统模型
设系统满足如下模型：
y
¨
=
a
(
y
,
y
˙
,
w
)
+
b
U
(1)
ddot y = a left( y, dot y, w right) + bU tag{1}
y¨=a(y,y˙,w)+bU(1)其中
w
w
w为未知干扰，且
b
=
b
0
+
Δ
b
b = b_0 + Delta b
b=b0+Δb，其中
b
0
b_0
b0是
b
b
b的最优估计，
Δ
b
Delta b
Δb是不确定项。
如果记
d
=
a
+
Δ
b
⋅
U
(2)
d = a + Delta b cdot U tag{2}
d=a+Δb⋅U(2)
那么(1)式即
y
¨
=
a
+
b
U
=
a
+
(
b
0
+
Δ
b
)
U
=
d
+
b
0
U
(3)
ddot y = a + bU = a + left( b_0 + Delta b right) U = d + b_0 U tag{3}
y¨=a+bU=a+(b0+Δb)U=d+b0U(3)
2. 增广状态空间的建立
记
x
1
=
y
,
x
2
=
x
˙
1
,
x
3
=
d
x_1 = y, x_2 = dot x_1, x_3 = d
x1=y,x2=x˙1,x3=d，并设
d
˙
=
f
dot d = f
d˙=f。那么有
{
x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
x
3
+
b
0
U
x
˙
3
=
f
(4)
begin{cases} dot x_1 = x_2 \ dot x_2 = x_3 + b_0 U \ dot x_3 = f end{cases} tag{4}
⎩
⎨
⎧x˙1=x2x˙2=x3+b0Ux˙3=f(4)由此可见，不确定项
d
d
d作为状态之一参与到了状态空间(4)中。此时如果设立一个状态观测器，就可以对其进行观测了。
3. 扩张状态观测器的建立
考虑具有如下形式的扩张状态观测器：
{
x
^
1
˙
=
x
^
2
+
β
1
g
1
(
e
1
)
x
^
2
˙
=
x
^
3
+
β
2
g
2
(
e
)
+
b
0
U
x
^
3
˙
=
β
3
g
3
(
e
)
y
^
=
x
^
1
(5)
begin{cases} dot{hat x_1} = hat x_2 + beta_1 g_1(e_1) \ dot{hat x_2} = hat x_3 +beta_2 g_2(e) + b_0 U \ dot{hat x_3} = beta_3 g_3(e) \ hat y = hat x_1 end{cases} tag{5}
⎩
⎨
⎧x^1˙=x^2+β1g1(e1)x^2˙=x^3+β2g2(e)+b0Ux^3˙=β3g3(e)y^=x^1(5)其中
e
=
y
=
y
^
=
x
1
−
x
^
1
e = y = hat y = x_1 - hat x_1
e=y=y^=x1−x^1，
β
i
beta_i
βi为增益。
一般地，把
g
i
g_i
gi选为：
g
i
(
e
,
α
i
,
δ
)
=
{
∣
e
∣
α
i
s
g
n
(
e
)
,
∣
e
∣
>
δ
e
δ
1
−
α
i
,
∣
e
∣
≤
δ
(6)
g_i left( e, alpha_i, delta right) = begin{cases} lvert e rvert ^{alpha_i} sgn (e), quad lvert e rvert > delta \ frac{e}{delta^{1-alpha_i}}, quad lvert e rvert leq delta end{cases} tag{6}
gi(e,αi,δ)={∣e∣αisgn(e),∣e∣>δδ1−αie,∣e∣≤δ(6)且
0
<
α
i
<
1
0 < alpha_i < 1
0<αi<1。
4. 重构柯西方程组
令
x
e
=
[
x
1
x
2
x
3
]
T
x_e = left[ begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 end{matrix} right]^T
xe=[x1x2x3]T，则
{
x
˙
e
=
A
e
x
e
+
B
e
U
+
B
f
f
y
=
C
e
x
e
(7)
begin{cases} dot x_e = A_e x_e +B_e U +B_f f \ y = C_e x_e end{cases} tag{7}
{x˙e=Aexe+BeU+Bffy=Cexe(7)其中
A
e
=
[
0
1
0
0
0
1
0
0
0
]
,
B
e
=
[
0
b
0
0
]
A_e = left[ begin{matrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{matrix} right], B_e = left[ begin{matrix} 0 \ b_0 \ 0 end{matrix} right]
Ae=⎣
⎡000100010⎦
⎤,Be=⎣
⎡0b00⎦
⎤
B
f
=
[
0
0
1
]
,
C
e
=
[
1
0
0
]
B_f = left[ begin{matrix} 0 \ 0 \ 1 end{matrix} right], C_e = left[ begin{matrix} 1 & 0 & 0 end{matrix} right]
Bf=⎣
⎡001⎦
⎤,Ce=[100]另一方面，观测器具有如下形式
{
x
^
e
˙
=
A
e
x
^
e
+
B
e
U
+
L
e
y
^
=
C
e
x
^
e
(8)
begin{cases} dot{hat x_e} = A_e hat x_e +B_e U +Le \ hat y = C_e hat x_e end{cases} tag{8}
{x^e˙=Aex^e+BeU+Ley^=Cex^e(8)其中
L
=
[
β
1
β
2
β
3
]
T
L = left[ begin{matrix} beta_1 & beta_2 & beta_3 end{matrix} right]^T
L=[β1β2β3]T。
将(7)(8)联立，设
e
0
=
x
e
−
x
^
e
e_0 = x_e - hat x_e
e0=xe−x^e，则
e
˙
0
=
x
˙
e
−
x
^
e
˙
=
A
e
x
e
+
B
e
U
+
B
f
f
−
A
e
x
^
e
−
B
e
U
−
L
e
=
A
e
(
x
e
−
x
^
e
)
+
B
f
f
−
L
(
y
−
y
^
)
=
A
e
(
x
e
−
x
^
e
)
+
B
f
f
−
L
(
C
e
x
e
−
C
e
x
^
e
)
=
(
A
e
−
L
C
e
)
(
x
e
−
x
^
e
)
+
B
f
f
=
(
A
e
−
L
C
e
)
e
0
+
B
f
f
(9)
begin{aligned} dot e_0 &= dot x_e - dot{hat x_e} \ &= A_e x_e +B_e U +B_f f - A_e hat x_e - B_e U - Le \ &= A_e left(x_e - hat x_e right) + B_f f - L left( y - hat y right) \ &= A_e left(x_e - hat x_e right) + B_f f - L left( C_e x_e - C_e hat x_eright) \ &= left( A_e - LC_e right) left(x_e - hat x_e right) +B_f f \ &= left( A_e - LC_e right) e_0 +B_f f end{aligned} tag{9}
e˙0=x˙e−x^e˙=Aexe+BeU+Bff−Aex^e−BeU−Le=Ae(xe−x^e)+Bff−L(y−y^)=Ae(xe−x^e)+Bff−L(Cexe−Cex^e)=(Ae−LCe)(xe−x^e)+Bff=(Ae−LCe)e0+Bff(9)式中
A
e
,
C
e
A_e, C_e
Ae,Ce已知，故可以通过设计
L
L
L来使得
e
˙
0
dot e_0
e˙0稳定。而当
e
˙
0
dot e_0
e˙0稳定时，即为
x
^
e
→
x
e
hat x_e rightarrow x_e
x^e→xe。
最后
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