LMI工具箱一般用于求解三类问题

1、可行解问题

寻找一个$x\in R^N$，使得$A(x)<B(x)$成立。

该问题可转化为：

寻找一个最小的t，使得$A(x)-B(x)\le tI$成立，即：$$mint$$$$s.t.A(x)-B(x)\le tI$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[tmin, xfeas]=feasp(lmisys, options, target)

其中，tmin代表凸优化问题的全局最优值。如果tmin<0，则该问题有可行解；如果tmin>0，则该问题没有可行解。
xfeas用于提取该可行解x，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xfeas,X)。
lmisys代表该矩阵不等式系统，需要预先定义好。
options是可选量，用于描述求解参数。
target是可选量，用于为tmin设置目标值，默认值为0，当tmin<target时，迭代停止。

2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题

$$mi{n}_x{c}^{T}x$$$$s.t.A(x)<B(x)$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[copt, xopt]=mincx(lmisys, c, options, xinit, target)

其中，copt代表目标函数值$c^{T}x$的全局最优值。
xopt代表用于提取最优解，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xopt,X)。
lmisys代表该矩阵不等式系统，需要预先定义好。
c是已知变量。
options是可选量，用于描述求解参数。
xinit是可选量，用于表示最优解xopt的一个初猜值，可加快求解过程。
target是可选量，用于为目标函数设置目标值，当$c^{T}x$<target时，迭代停止。

3、广义特征值的最小化问题

$$min\lambda$$$$\begin{gathered} s.t.C(x)<D(x) \\ 0<B(x) \\ A(X)<\lambda B(x) \end{gathered}$$

MATLAB语言一般表达形式为：
[lopt, xopt]=gevp(lmisys, nlfc, options, linit, xinit, target)

其中，lopt代表优化问题的全局最优值。
xopt代表用于提取最优解，提取方法为x=dec2mat(lmisys,xopt,X)。
lmisys代表$\lambda =1$时的矩阵不等式系统。
mlfc代表含$\lambda$的约束的个数。
options是可选量，用于描述求解参数。
linit，xinit是可选量，用于表示最优解lopt、xopt的初猜值，可加快求解过程。
target是可选量，当$\lambda$<target时，迭代停止。

使用gevp必须注意到：

1. 必须包含$\lambda =1$的这种情况。
2. 要把$A(x)<B(x)$放在最后定义。
3. 必须要有使$0<B(x)$成立的约束。

4、为mincx确定目标函数$c^{T}x$

当目标函数是矩阵变量的一个仿射函数时，函数defcx可以为c的确定提供一个方便的方法。
如线性目标函数$Trace(X)+x_0^{T}P{x}_0$，其中X和P是两个对称矩阵变量，$x_0$是一个给定向量。
使得$c^{T}x=Trace(X)+x_0^{T}P{x}_0$的向量c可以用以下命令描述：

n=decnbr(lmisys);	% 获取决策变量个数
c=zeros(n,1);
% 确定向量c的维数
for i=1:n
[Xj,Pj]=defcx(lmisys,j,X,P);
c(j)=trace(Xj)+x0'*Pj*x0;
end

循环语句for每次循环取$x_j=1$，x的其他元为零，利用defcx求取矩阵变量Xj和Pj；然后对X=Xj，P=Pj，求取相应的c(j)。
其他目标函数处理也类似，如目标函数$min\gamma$处理为：

n = decnbr(lmisys);
% 系统决策变量个数
c = zeros(n,1);
% 确定向量c的维数
for j=1:n
[r1j]=defcx(lmisys,j,r1);
c(j)=trace(r1j);
end

本文是作者在日常学习生活中所作，难免有遗漏或错误，遇到问题的读者请点击给我写信向我的邮箱反馈，不胜感激。

最后

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