启发式搜索：A*算法

• 定义

        A*算法，（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法，也是解决许多搜索问题的有效算法。算法中的距离估算值与实际值越接近，最终搜索速度越快。

• 推理

        如果给定一个“目标状态”， 需要求出从初态到目标状态的最小代价，那么优先队列BFS的这个“优先策略”显然是不完善的。一个状态的当前代价最小，只能说明从起始状态到该状态的代价很小，而在未来的搜索中，从该状态到目标状态可能会花费很大的代价。另外一些状态虽然当前代价略大，但是未来到日标状态的代价可能会很小，于是从起始状态到目标状态的总代价反而更优。优先队列BFS会优先选择前者的分支，导致求出最优解的搜索量增大。

        为了提高搜索效率，我们可以对未来可能产生的代价进行预估。详细地讲，我们设计一一个 “估价函数”，以任意“状态”为输入，计算出从该状态到目标状态所需代价的估计值。在搜索中，仍然维护一个堆， 不断从堆中取出“当前代价+未来估价”最小的状态进行扩展。

        为了保证第一次从堆中取出目标状态时得到的就是最优解，我们设计的估价函数需要满足一个基本准则:
1. 设当前状态state到目标状态所需代价的估计值为f(state)。
2. 设在未来的搜索中，实际求出的从当前状态state到目标状态的最小代价为g(state)。
3. 对于任意的state,应该有f(state) ≤ g(tate)。
也就是说， 估价函数的估值不能大于未来实际代价 ，估价比实际代价更优。

        这种带有估价函数的优先队列BFS就称为A* 算法。只要保证对于任意状态state,都有f(state) <= g(state)，A*算法就一定能在目标状态第一次从堆中被取出时得到最优解, 井且在搜索过程中每个状态只需要被扩展一次(之后再被取出就可以直接忽略)， 估价f(state)越准确、越接近g(tare), A * 算法的效率就越高。如果估价始终为0，就等价于普通的优先队列BFS.

• 例题讲解
• POJ2449
• POJ1077

最后

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