matlab unifit,【matlab】matlab在概率统计中的应用（二）

4.7.1

常见分布的参数估计

命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间

函数 betafit

格式 PHAT=betafit(X)

[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)

说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量

PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间，是一个2×2矩阵，其第1例为参数a的置信下界和上界，第2例为b的置信下界和上界，ALPHA为显著水平，(1-α)×100%为置信度。

例4-61 随机产生100个β分布数据，相应的分布参数真值为4和3。则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为：

解：

>>X = betarnd (4,3,100,1);

%产生100个β分布的随机数

>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01)

%求置信度为99%的置信区间和参数a、b的估计值

结果显示

PHAT =

3.9010 2.6193

PCI =

2.5244 1.7488

5.2776 3.4898

说明 估计值3.9010的置信区间是[2.5244

5.2776]，估计值2.6193的置信区间是[1.7488

3.4898]。

命令 正态分布的参数估计

函数 normfit

格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

说明 muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci分别为置信区间，其置信度为；alpha给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度为95%。

例4-62 有两组(每组100个元素)正态随机数据，其均值为10，均方差为2，求95%的置信区间和参数估计值。

解：>>r = normrnd (10,2,100,2);

%产生两列正态随机数据

>>[mu,sigma,muci,sigmaci] =

normfit(r)

则结果为

mu =

10.1455 10.0527 %各列的均值的估计值

sigma =

1.9072 2.1256 %各列的均方差的估计值

muci =

9.7652 9.6288

10.5258 10.4766

sigmaci =

1.6745 1.8663

2.2155 2.4693

说明 muci，sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为95%。

例4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数

(1)用金球测定观察值为：6.683

6.681 6.676 6.678 6.679 6.672

(2)用铂球测定观察值为：6.661

6.661 6.667 6.667 6.664

设测定值总体为，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间。

解：建立M文件：LX0833.m

X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672];

Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计

[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计

运行后结果显示如下：

mu =

6.6782

sigma =

0.0039

muci =

6.6750

6.6813

sigmaci =

0.0026

0.0081

MU =

6.6640

SIGMA =

0.0030

MUCI =

6.6611

6.6669

SIGMACI =

0.0019

0.0071

由上可知，金球测定的μ估计值为6.6782，置信区间为[6.6750，6.6813]；

σ的估计值为0.0039，置信区间为[0.0026，0.0081]。

泊球测定的μ估计值为6.6640，置信区间为[6.6611，6.6669]；

σ的估计值为0.0030，置信区间为[0.0019，0.0071]。

命令 利用mle函数进行参数估计

函数 mle

格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估计值

[phat, pci]=mle %置信度为95%

[phat, pci]=mle %置信度由alpha确定

[phat, pci]=mle %仅用于二项分布，pl为试验次数。

说明 dist为分布函数名，如：beta(分布)、bino(二项分布)等，X为数据样本，alpha为显著水平α，为置信度。

例4-64

>> X=binornd(20,0.75) %产生二项分布的随机数

X =

16

>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20)

%求概率的估计值和置信区间，置信度为95%

p =

0.8000

pci =

0.5634

0.9427

常用分布的参数估计函数

表4-7 参数估计函数表

函数名

调 用 形 式

函 数 说 明

binofit

PHAT= binofit(X, N)

[PHAT, PCI] = binofit(X,N)

[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)

二项分布的概率的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

poissfit

Lambdahat=poissfit(X)

[Lambdahat, Lambdaci] =

poissfit(X)

[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X,

ALPHA)

泊松分布的参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的λ参数和置信区间

normfit

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] =

normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,

ALPHA)

正态分布的最大似然估计，置信度为95%

返回水平α的期望、方差值和置信区间

betafit

PHAT =betafit (X)

[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)

返回β分布参数a和 b的最大似然估计

返回最大似然估计值和水平α的置信区间

unifit

[ahat,bhat] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,

ALPHA)

均匀分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

expfit

muhat =expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X,alpha)

指数分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

gamfit

phat =gamfit(X)

[phat,pci] = gamfit(X)

[phat,pci] = gamfit(X,alpha)

γ分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回最大似然估计值和水平α的置信区间

weibfit

phat = weibfit(X)

[phat,pci] = weibfit(X)

[phat,pci] = weibfit(X,alpha)

韦伯分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计及其区间估计

Mle

phat = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data)

[phat,pci] =

mle('dist',data,alpha)

[phat,pci] =

mle('dist',data,alpha,p1)

分布函数名为dist的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的最大似然估计值和置信区间

仅用于二项分布，pl为试验总次数

说明 各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为(1-α)×100%的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。

4.7.2 非线性模型置信区间预测

命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合

函数 nlinfit

格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非线性函数的系数。FUN为用户提供形如的函数，该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值。

[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0)

�ta为拟合系数，r为残差，J为Jacobi矩阵，beta0为初始预测值。

说明 若X为矩阵，则X的每一列为自变量的取值，y是一个相应的列向量。如果FUN中使用了@，则表示函数的柄。

例4-65 调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat

>>load reaction

>>betafit =

nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)

betafit =

1.2526

0.0628

0.0400

0.1124

1.1914

命令 非线性模型的参数估计的置信区间

函数 nlparci

格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为95%的置信区间，beta为非线性最小二乘法估计的参数值，r为残差，J为Jacobian矩阵。nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。

例4-66调用MATLAB中的数据reaction。

>>load reaction

>>[beta,resids,J] =

nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)

命令 非线性拟合和显示交互图形

函数 nlintool

格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用2条红色曲线预测全局置信区间。beta0为参数的初始预测值，置信度为95%。

nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100%

例4-67调用MATLAB数据

>> load reaction

>>

nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)

图4-20

命令 非线性模型置信区间预测

函数 nlpredci

格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %

ypred 为预测值，FUN与前面相同，beta为给出的适当参数，r为残差，J为Jacobian矩阵，inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值。

[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)

�lta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半，当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间。

ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt')

%控制置信区间的类型，置信度为100(1-alpha)%。'simopt'

= 'on' 或'off'

(默认值)分别表示同步或不同步置信区间。'predopt'='curve'

(默认值) 表示输入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置信区间。nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。

例4-68 续前例，在[100

300 80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta

>> load reaction

>> [beta,resids,J] =

nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);

>> [ypred,delta] =

nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)

结果为：

ypred =

10.9113

delta =

0.3195

命令 非负最小二乘

函数 nnls(该函数已被函数lsnonneg代替，在6.0版中使用nnls将产生警告信息)

格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程A×x=b的解，返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中A和b必须为实矩阵或向量。

x = nnls(A,b,tol) % tol为指定的误差

[x,w] = nnls(A,b) %当x中元素时，，当时。

[x,w] = nnls(A,b,tol)

例4-

69

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861

0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747

0.8405]'；

>> x=nnls(A,b)

Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.

NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:

[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]

=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;

Use OPTIMSET to define optimization options, or type

'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be

removed in the future; please use NNLS with the new syntax.

x =

0

0.6929

命令 有非负限制的最小二乘

函数 lsqnonneg

格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中C和d必须为实矩阵或向量。

x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点，x0≥0

x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数，参见options函数。

[x,resnorm] = lsqnonneg(…)

%resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…)

%residual表示C*x-d的残差

例4-

70

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861

0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747

0.8405]'；

>> [x,resnorm,residual] =

lsqnonneg(A,b)

4.7.3 对数似然函数

命令 负分布的对数似然函数

函数 Betalike

格式 logL=betalike(params,data) %返回负分布的对数似然函数，params为向量[a,

b]，是分布的参数，data为样本数据。

[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params

中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 betalike是分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的元素相互独立。因为betalike返回负对数似然函数，用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。

例4-71 本例所取的数据是随机产生的分布数据。

>>r = betarnd(3,3,100,1);

>>[logL,info] =

betalike([2.1234,3.4567],r)

命令 负分布的对数似然估计

函数 Gamlike

格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params(即[a，b])的负对数似然函数值

[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 gamlike是分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回对数似然函数值，故用fmins函数将gamlike最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。

例4-72

>>r=gamrnd(2,3,100,1);

>>[logL,info]=gamlike([2.4212,

2.5320],r)

命令 负正态分布的对数似然函数

函数 normlike

格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。

[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

命令 威布尔分布的对数似然函数

函数 Weiblike

格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、威布尔分布的、参数为params(即[a，b])的对数似然函数值。

[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为

例4-73

>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);

>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)