4.7.1
常见分布的参数估计
命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
函数 betafit
格式 PHAT=betafit(X)
[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)
说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量
PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间,是一个2×2矩阵,其第1例为参数a的置信下界和上界,第2例为b的置信下界和上界,ALPHA为显著水平,(1-α)×100%为置信度。
例4-61 随机产生100个β分布数据,相应的分布参数真值为4和3。则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为:
解:
>>X = betarnd (4,3,100,1);
%产生100个β分布的随机数
>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01)
%求置信度为99%的置信区间和参数a、b的估计值
结果显示
PHAT =
3.9010 2.6193
PCI =
2.5244 1.7488
5.2776 3.4898
说明 估计值3.9010的置信区间是[2.5244
5.2776],估计值2.6193的置信区间是[1.7488
3.4898]。
命令 正态分布的参数估计
函数 normfit
格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
说明 muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值,muci,sigmaci分别为置信区间,其置信度为;alpha给出显著水平α,缺省时默认为0.05,即置信度为95%。
例4-62 有两组(每组100个元素)正态随机数据,其均值为10,均方差为2,求95%的置信区间和参数估计值。
解:>>r = normrnd (10,2,100,2);
%产生两列正态随机数据
>>[mu,sigma,muci,sigmaci] =
normfit(r)
则结果为
mu =
10.1455 10.0527 %各列的均值的估计值
sigma =
1.9072 2.1256 %各列的均方差的估计值
muci =
9.7652 9.6288
10.5258 10.4766
sigmaci =
1.6745 1.8663
2.2155 2.4693
说明 muci,sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间,置信度为95%。
例4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数
(1)用金球测定观察值为:6.683
6.681 6.676 6.678 6.679 6.672
(2)用铂球测定观察值为:6.661
6.661 6.667 6.667 6.664
设测定值总体为,μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间。
解:建立M文件:LX0833.m
X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672];
Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];
[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计
[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计
运行后结果显示如下:
mu =
6.6782
sigma =
0.0039
muci =
6.6750
6.6813
sigmaci =
0.0026
0.0081
MU =
6.6640
SIGMA =
0.0030
MUCI =
6.6611
6.6669
SIGMACI =
0.0019
0.0071
由上可知,金球测定的μ估计值为6.6782,置信区间为[6.6750,6.6813];
σ的估计值为0.0039,置信区间为[0.0026,0.0081]。
泊球测定的μ估计值为6.6640,置信区间为[6.6611,6.6669];
σ的估计值为0.0030,置信区间为[0.0019,0.0071]。
命令 利用mle函数进行参数估计
函数 mle
格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估计值
[phat, pci]=mle %置信度为95%
[phat, pci]=mle %置信度由alpha确定
[phat, pci]=mle %仅用于二项分布,pl为试验次数。
说明 dist为分布函数名,如:beta(分布)、bino(二项分布)等,X为数据样本,alpha为显著水平α,为置信度。
例4-64
>> X=binornd(20,0.75) %产生二项分布的随机数
X =
16
>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20)
%求概率的估计值和置信区间,置信度为95%
p =
0.8000
pci =
0.5634
0.9427
常用分布的参数估计函数
表4-7 参数估计函数表
函数名
调 用 形 式
函 数 说 明
binofit
PHAT= binofit(X, N)
[PHAT, PCI] = binofit(X,N)
[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)
二项分布的概率的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
poissfit
Lambdahat=poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci] =
poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X,
ALPHA)
泊松分布的参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的λ参数和置信区间
normfit
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] =
normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,
ALPHA)
正态分布的最大似然估计,置信度为95%
返回水平α的期望、方差值和置信区间
betafit
PHAT =betafit (X)
[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)
返回β分布参数a和 b的最大似然估计
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
unifit
[ahat,bhat] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,
ALPHA)
均匀分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
expfit
muhat =expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X,alpha)
指数分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
gamfit
phat =gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X,alpha)
γ分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
weibfit
phat = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X,alpha)
韦伯分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计及其区间估计
Mle
phat = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data)
[phat,pci] =
mle('dist',data,alpha)
[phat,pci] =
mle('dist',data,alpha,p1)
分布函数名为dist的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的最大似然估计值和置信区间
仅用于二项分布,pl为试验总次数
说明 各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为(1-α)×100%的置信区间。α的默认值为0.05,即置信度为95%。
4.7.2 非线性模型置信区间预测
命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合
函数 nlinfit
格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非线性函数的系数。FUN为用户提供形如的函数,该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值。
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0)
�ta为拟合系数,r为残差,J为Jacobi矩阵,beta0为初始预测值。
说明 若X为矩阵,则X的每一列为自变量的取值,y是一个相应的列向量。如果FUN中使用了@,则表示函数的柄。
例4-65 调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat
>>load reaction
>>betafit =
nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)
betafit =
1.2526
0.0628
0.0400
0.1124
1.1914
命令 非线性模型的参数估计的置信区间
函数 nlparci
格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为95%的置信区间,beta为非线性最小二乘法估计的参数值,r为残差,J为Jacobian矩阵。nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。
例4-66调用MATLAB中的数据reaction。
>>load reaction
>>[beta,resids,J] =
nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)
命令 非线性拟合和显示交互图形
函数 nlintool
格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形,它用2条红色曲线预测全局置信区间。beta0为参数的初始预测值,置信度为95%。
nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100%
例4-67调用MATLAB数据
>> load reaction
>>
nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)
图4-20
命令 非线性模型置信区间预测
函数 nlpredci
格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %
ypred 为预测值,FUN与前面相同,beta为给出的适当参数,r为残差,J为Jacobian矩阵,inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值。
[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)
�lta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半,当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时,置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间。
ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt')
%控制置信区间的类型,置信度为100(1-alpha)%。'simopt'
= 'on' 或'off'
(默认值)分别表示同步或不同步置信区间。'predopt'='curve'
(默认值) 表示输入函数值的置信区间, 'predopt'='observation' 表示新响应值的置信区间。nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。
例4-68 续前例,在[100
300 80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta
>> load reaction
>> [beta,resids,J] =
nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);
>> [ypred,delta] =
nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)
结果为:
ypred =
10.9113
delta =
0.3195
命令 非负最小二乘
函数 nnls(该函数已被函数lsnonneg代替,在6.0版中使用nnls将产生警告信息)
格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程A×x=b的解,返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中A和b必须为实矩阵或向量。
x = nnls(A,b,tol) % tol为指定的误差
[x,w] = nnls(A,b) %当x中元素时,,当时。
[x,w] = nnls(A,b,tol)
例4-
69
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861
0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747
0.8405]';
>> x=nnls(A,b)
Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.
NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:
[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]
=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;
Use OPTIMSET to define optimization options, or type
'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be
removed in the future; please use NNLS with the new syntax.
x =
0
0.6929
命令 有非负限制的最小二乘
函数 lsqnonneg
格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中C和d必须为实矩阵或向量。
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点,x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数,参见options函数。
[x,resnorm] = lsqnonneg(…)
%resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…)
%residual表示C*x-d的残差
例4-
70
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861
0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747
0.8405]';
>> [x,resnorm,residual] =
lsqnonneg(A,b)
4.7.3 对数似然函数
命令 负分布的对数似然函数
函数 Betalike
格式 logL=betalike(params,data) %返回负分布的对数似然函数,params为向量[a,
b],是分布的参数,data为样本数据。
[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params
中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明 betalike是分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中,所有的元素相互独立。因为betalike返回负对数似然函数,用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。
例4-71 本例所取的数据是随机产生的分布数据。
>>r = betarnd(3,3,100,1);
>>[logL,info] =
betalike([2.1234,3.4567],r)
命令 负分布的对数似然估计
函数 Gamlike
格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params(即[a,b])的负对数似然函数值
[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明 gamlike是分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回对数似然函数值,故用fmins函数将gamlike最小化后,其结果与最大似然估计是相同的。
例4-72
>>r=gamrnd(2,3,100,1);
>>[logL,info]=gamlike([2.4212,
2.5320],r)
命令 负正态分布的对数似然函数
函数 normlike
格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、参数为params(即[mu,sigma])的对数似然函数值。
[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
命令 威布尔分布的对数似然函数
函数 Weiblike
格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、威布尔分布的、参数为params(即[a,b])的对数似然函数值。
[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为
例4-73
>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);
>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)
最后
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